Limite, série, intégrale

[qaterio]

Bonjour,

J'ai un gros soucis, (je met le problème en fichier), quand je calcule tout ça, je tombe sur quelque chose qui tend vers +oo, le problème c'est que c'est la modélisation de la construction d'une figure géométrique, elle n'a en aucun cas une aire infinie... Aidez-moi s'il vous plaît..

https://postimg.cc/F1Rvntsz/48165962

[aviateur]

Bonjour
Pour moi ça tend vers -`\infty.
Tu ferai mieux de donner ton problème pour qu'on voit un peu de quoi il sagit

[qaterio]

Ah, pour toi aussi ? En faite, la modélisation mathématiques, on nous la donne pas, on doit la faire. Donc c'est là que ça a dû clocher à mon avis... Tu sais, c'est quand on est dans un repère orthonormé et qu'on relie y=1 à x=1/n, y=(n-1)/n à 2/n (par des droites) etc. et ça donne une figure, où le but de la question est d'en calculer l'intégrale de 0 à 1. Je sais pas si tu vois ce que je veux dire quand j'explique comment produire la figure.

[qaterio]

Ce que j'ai voulue faire, c'est de calculer l'intégrale de chacune de ces droites de 0 à k/n, en faisant avancer le paramètre k à l'aide d'une série.

[qaterio]

Voilà un exemple: https://postimg.cc/ctBhRkgn/f83cb9ec

[Lostounet]

Voilà un exemple: https://postimg.cc/ctBhRkgn/f83cb9ec

Cela ressemble un peu à une astroïde obtenue comme enveloppe convexe des portions de droites.

Si c'est ça (aire sous la courbe) alors ça (une éventuelle 'limite de sommes partielles") devrait converger vers:
3/32*pi

[aviateur]

Bonjour
Pas encore facile à deviner ton problème. Mais disons que tu as surement une courbe
définie comme une enveloppe de droites.
Cette courbe définie peut être une surface avec l'aide des axes?
Une approximation (modélisation) de cette aire passe par une approximation de par l'intermédiaire d'une famille de droites .

Voilà à peu près ce que je crois deviner. Mais de toute façon tant que les choses ne sont pas posées correctement on ne peut rien faire.

[qaterio]

Ok tout le monde, j'ai compris mon erreur dans ma notation, enfaite il faut pas que je reprenne l'aire sous la courbe de celles qui ont déjà était calculées, c'est pour ça que je trouvais +oo, mais ça a l'air de compliquer énoermément le problème...
@Lostounet possible qu'il y ait du pi du coup.
@aviateur Je vais me renseigner sur ce que tu as dit.

[qaterio]

Il faut que je prenne non pas l'aire de 0 à k/n mais de (k-1)/n à k/n j'imagine.
Non, ça va toujours pas marcher, il faut que je calcule la différence à chaque fois, pfiouuuu... ça va être chiant...

[qaterio]

Ok, je garde l'expression de la série mais à l'intérieur, je calcule l'intégrale de 0 à (k+1)/n - l'intégrale de 0 à k/n

[Ben314]

Salut,
Si ton truc à calculer correspond exactement à l'image que tu as mise en pièce jointe, peut tu donner les équations des différentes droites ou bien expliquer leur "mode de construction" (histoire qu'on puisse au moins voir si ta somme est la bonne ou pas...)

EDIT : Si tes droites c'est celles passant par (0,t) et (1-t,0) avec t dans [0,1] (*) alors l'enveloppe de ta famille de droite a pour équation et la surface sous l'enveloppe (et dans le premier quadrant) vaut 1/6.

(*) Sauf que sur ton dessin, ça a pas l'air d'être exactement ça...

[qaterio]

@Ben314,
C'est bon j'ai retrouvé ce résultat par le calcul (en calculant la somme de la différence des aires de deux droites successives), c'est bien ça. Par contre, je n'ai pas retrouvé y=(1-sqrt(x))^2 lors de mon calcul, j'imagine qu'on trouve ce résultat en résolvant cette équation différentielle:
f'(k/n)(x-k/n)+f(k/n)=(n-k+1)/n -((n-k+1)x)/k, car on peut voir chacune des droites comme une tangente à la courbe d'une fonction, d'après la formule y=f'(a)(x-a)+f(a), on a bien l'équa diff' dessus. Mais je n'y avais pas pensé, c'est le fait que tu mette cette fonction qui m'a fait dire ça. En tout cas merci.
P.S: J'ai vérifié sur GéoGebra en traçant ta courbe, c'est exactement ça. En utilisant ça dans mon équa diff' ça devrait la résoudre* (pas résolver...), j'imagine...

[Ben314]

...ça devrait la résolver, j'imagine...

Résolvatationner ?
Résolutioner ? (ou Résolussioner ?)
-> Résoudre <-

[qaterio]

Pour comprendre le mode de construction, je vais donner un exemple, pour n=6.
On prend l'ordonnée y=1 et on la relie avec x=1/6.
On prend l'ordonnée y=5/6 et on la relie avec x=2/6.
On prend l'ordonnée y=4/6 et on la relie avec x=3/6.
Etc... (on relie avec une droite)
De manière générale, pour n=n:
On prend l'ordonnée y=1 et on la relie avec x=1/n.
On prend l'ordonnée y=(n-1)/n et on la relie avec 2/n.
On prend l'ordonnée y=(n-2)/n et on la relie avec 3/n.
etc...
Voilà, j'espère que vous comprenez bien le mode de construction maintenant.

[qaterio]

@Ben314,
Ah lala la langue française...

[Ben314]

Voilà, j'espère que vous comprenez bien le mode de construction maintenant.

Tout à fait.

Après, si ça t'amuse, tu peut essayer de chercher comment trouver, partant de ta famille de droites d'équation (avec le paramètre ) l'enveloppe de cette famille de droite.
(voire même l'enveloppe convexe d'une famille de droite quelconque d'équation )

[qaterio]

@Ben314,
Non, pas du tout, c'est la première fois que j'entend ça. (je suis un étudiant de L1 mais je suis passionné et je travaille beaucoup, alors j'ai des connaissances supplémentaires à ce que l'on voit en L1, mais ça a une certaine limite, je n'ai pas encore entendu parler de tout... ce problème, c'est moi qui me le suis posé, car de temps en temps, ça m'arrivais de faire ce genre de figures, mais ce n'est qu'aujourd'hui que je me suis posé la question de l'aire qui était sous la courbe lorsque n tend vers +oo). J'aimerai bien connaître ça.

[Ben314]

Le premier "challenge" (moyennement compliqué), c'est d'essayer de voir comment on peut définir cette notion "d'enveloppe convexe d'une famille de droite", c'est à dire d'essayer de comprendre comment la définir de façon assez propre (en tout cas suffisamment pour commencer à faire des calculs). A mon avis, là, c'est peut-être mieux d'essayer de se placer dans le cas général de plutôt que dans un cas particulier.
Tu as une idée d'une définition possible ?

[qaterio]

Euh, je vais dire n'importe quoi mais SOIT f(x)=y l'enveloppe convexe d'une famille de droite de la forme a(i)x+c(i)=y(i), pour tout x de [0.1], f(x)>y(i).

[Ben314]

Euh, je vais dire n'importe quoi mais SOIT f(x)=y l'enveloppe convexe d'une famille de droite de la forme a(i)x+c(i)=y(i), pour tout x de [0.1], y>y(i).

Y'a de l'idée, mais c'est pas super bien écrit :
- Déjà, ton paramètre, c'est plutôt un réel (dans l'exemple que tu as traité précédemment, tu prend toutes les droites passant par (0,t) et (1-t,0) avec t qui décrit tout l'intervalle [0,1]) donc ça serait plus "lisible" appeler le paramètre plutôt que (qui en général désigne plutôt un entier).
- Ensuite, ton équation de droite "qui bouge", soit tu l'écrit , soit , mais là dedans, le et le , c'est juste des variable qui te servent à définir la droite donc c'est pas des fonctions de (i.e. de mettre du ou du , ça a pas trop de sens)
- Enfin, si tu veut écrire que, comme sur ton exemple, la fameuse courbe est au dessus de toutes les droites de la famille, alors, si tu dit que tes droites ont pour équation , ça s'écrirait plutôt sous la forme : .
Sauf que c'est pas génial vu que ça dit uniquement que doit être "plus grand que quelque chose" (ce qui est évidement insuffisant pour définir la valeur de f(x)) et l'autre problème, c'est que si ton dessin était dans l'autre sens, ben l'inégalité serait dans l'autre sens...

Je vais te donner une solution possible (de définition) :
On prend une famille de droites .
On fixe une droite particulière et on regarde l'intersection de cette droite là avec une autre droite : presque toujours, ça donne un unique point (intersection de deux droites). Ensuite on regarde vers quoi tend le point (*) lorsque tend vers . Cette limite (si elle existe) nous donne unique point situé sur la droite (et qui dépend évidement de ). Et c'est l'ensemble de ces points là qu'on appelle "l'enveloppe de la famille de droite"

(*) C'est à dire vers quoi tendent les deux coordonnées du point.

P.S. Il y a une autre façon de définir l'enveloppe d'une famille de droite, mais je trouve que celle là est légèrement plus "naturelle" et/ou "simple" que l'autre...