Comme ça à l'air de s'enterrer, je vais mettre ce que j'attendais comme "solution" :
Si
est l'intersection de
et
alors
et
.
Et si on prend la deuxième équation moins la première le tout divisé par
puis qu'on fait tendre
vers
, on obtient
(modulo de tout supposer dérivable bien sûr).
Donc en fait "l'enveloppe de la famille de droite", c'est l'ensemble des points
qui sont solutions des systèmes
(modulo que le déterminant
du système soit non nul)
Par exemple dans ton cas, la droite passant par
et
a pour équation
donc le système est
où la deuxième équation est la dérivée en
de la première.
Le calcul donne
et
qu'on peut écrire sous la forme
ou bien
qui permet de voir qu'il s'agit bien d'une parabole comme l'a dit aviateur.
Sinon, pour revenir au cas général, si on suppose que les fonctions
sont deux fois dérivables (et que
ne s’annule pas sur l'intervalle considéré) alors les fonction
et
sont dérivable (car elle s'expriment rationnellement en fonction de
).
En dérivant la relation première relation
(où
sont des fonctions de
) on obtient
puis, en retranchant la deuxième relation
, on en déduit que
ce qui signifie que le vecteur directeur
de l’enveloppe au point
est orthogonal au vecteur normal
de la droite
et donc que cette dernière est en fait la tangente à l'enveloppe au point
.
Cela donne une deuxième définition (équivalente) à la notion "d'enveloppe d'une famille de droites"
: c'est la courbe
telle que, pour tout
,
soit la tangente en
à la courbe. (chose que tu as du remarquer sur ton dessin avec géogébra).