Limite facile

[titine]

Bonjour.
Pourriez vous m'aider à retrouver comment on démontre que la limite, qd x->+inf, de (1+1/x)^x = e ? ... DL ?

Merci.

[bruce.ml]

Salut, sans utiliser d'outils aussi puissants que les DL on dit que :



et on étudie la limite de en remarquant que c'est égal à
en posant . Quand x tend vers plus l'infini, X tend vers 0, et la limite de quand X tend vers 0 est 1 ( c'est la limite du taux d'accroissement en 1 de la fonction ln ).
CQFD.

[Joker62]

Ou bien passer par l'équivalent de ln(1+X) ~ X en 0
Mais c'est tellement plus joli avec Barbu23 :)

[thedream01]

Ou bien passer par l'équivalent de ln(1+X) ~ X en 0
Mais c'est tellement plus joli avec Barbu23

Je ne crois pas qu'on aie le droit de passer à l'equivalent quand on a une exponnentielle?! non?

[Joker62]

Hum Hummmmm ! :)

Enfait, on chercher à savoir si e^g(x) ~ e^f(x) quand g ~ f

Soit g une fonction équivalent à f en x_0

IE : lim (x -> x_0) f(x)/g(x) = 1

lim(x->x_0) e^f(x) / e^g(x) = lim(x->x_0) e^(f(x)-g(x)) = 1 <=> lim (x->x_0) f(x)-g(x) = 0

On a alors le droit de passer à l'exponentielle, seulement si la différence tend vers 0.

Ici g(x) = xln(1+1/x)
f(x) = 1

quand x tend vers +oo g(x)-> 1 donc g(x)-f(x) tend vers 0
C'est ok!

[thedream01]

ahhh oui...désolé!
merciiii :marteau:

[Joker62]

Pour tout t'avouer, j'avais pas fait attention à ce détail !
Mais c'est sympa de s'en souvenir finalement :)

[Nightmare]

Bonsoir,

pourquoi se fatiguer à démontrer ce qui est une définition?

e est défini comme la limite de la suite (1+1/x)^x pour x->+oo et non pas comme la valeur de l'exponentielle en 1.

C'est un développement de taylor-laplace qui nous permet de montrer que exp(1)=e.

[kazeriahm]

dévloppement de taylor laplace ? what's that ?

quitte à utiliser un équivalent autant utiliser un DL

[Nightmare]

taylor - Laplace = taylor avec reste integral

[Edrukel]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_math%C3%A9matique_e

[fahr451]

Bonsoir,

pourquoi se fatiguer à démontrer ce qui est une définition?

e est défini comme la limite de la suite (1+1/x)^x pour x->+oo et non pas comme la valeur de l'exponentielle en 1.

C'est un développement de taylor-laplace qui nous permet de montrer que exp(1)=e.

bonjour

je n'ai jamais rencontré pour ma part cette définition de e

[Babe]

heyhey fahr de retour :zen:

[fahr451]

hello hello babe :happy2:

[Nightmare]

Salut fahr451.

Quelle définition de e connais-tu? Si c'est la somme de la série de terme (1/n!) alors elles sont équivalentes.

[fahr451]

je viens de regarder le lien donné infra (wikipédia)

qui propose 4 définitions (équivalentes ouf) de e parmi lesquelles en effet celle ci.

tout se vaut en effet (puisque les propriétés sont équivalentes reouf) mais je reste dubitatif quant à l'intérèt de cette définition .
Pour moi une définition doit permettre de "travailler aisément" et je ne trouve pas que ce soit le cas ici ; mais bon c'est une opinion

[Nightmare]

Certes, mais toute façon on ne travaille pas réellement avec e, on travaille avec l'exponentielle, et tant qu'on a réussi à montrer que exp(x)=e^x alors tout va pour le mieux :happy3:

[fahr451]

vu d'où je suis (sur mon rocking chair) je proposerais comme définition agréable

e = exp (1)

avec exp définie au choix par
1) la série entière
2) y ' = y et y(0) = 1

3) application réciproque de ln ( à définir également)

1) 2 ) 3) c'est mon tiercé personnel

[Nightmare]

Lol :happy2:

Oui mais après il y a des questions historiques! Le nombre de népér a été "découvert" avant l'invention de l'exponentielle je me trompe?

[kazeriahm]

néper il appelle ln la primitive de x->1/x qui s'annule en 1

Il montre que cette fonction est bijective de R+* dans R et il pose e tq ln(e)=1