Théorème des gendarmes (très facile en théorie, masi en prat

[Florix]

Bonjour,


Voici l'énoncé de l'exercice :

Soit la suite (Un) définie par Un = [Somme de k=1 à n] 1 / k^2

1/ Démontrer l'inégalité suivante pour tout x réel de ]0;pi/2[ :

[CENTER]cotan^2 x < 1 / x^2 < 1 / sin^2 x[/CENTER]

J'ai réussi à demontrer cette inégalité, jusque là pas de problème !

2/ En déduire lim quand n tend vers +oo de Un

Je me suis dit, ouais vu la question précedente, c'est le théorème des gendarmes !

Unique problème :

cotan^2x tend vers 0 pour tout x réel de ]0;pi/2[
1 / sin^2 x tend vers 1 pour tout x réel de ]0;pi/2[

DOnc on peut pas appliquer le théorème des gendarmes !

Comment faire alors ?

Merci d'avance pour votre aide !

Florix

[Anonyme]

la limite c'est pi²/6.
c'est tres facile lol

[Florix]

pi/6 et pourquoi donc ???

C'est peu être très facile oui, mais si je viens sur ce forum c'est parce que je suis nul en maths ! Depuis se fout-on de la geule des membres ?

[Nightmare]

Depuis quand les membres sont ils aussi agressifs et mal polis ?

[Anonyme]

tu parle de qui Nightmare??? hein?? j'espece que ce n'est pas moi, sinon....

[Florix]

Euh oui en même si dire "Depuis quand on se fout de la geule des membres ici ?" est malpoli et agressif, Nightmare, tu chercheras la définition de ces mots dans le dictionnaire :--:

Tu ouvriras tes yeux aussi et tu regarderas autour de toi. Tu verras qu'il exite des gens (et oui, ça t'épate !) qui sont bcp plus agressifs et malpoli !

Et le stupide invité qui a écrit : "tu parle de qui Nightmare??? hein?? j'espece que ce n'est pas moi, sinon...." si il se croit drole, et ben il ne l'est pas

[Florix]

Euh l'invité qui a écrit le message ci-dessus il se croit drole ?

Quand je poste je me connecte !

Bref, qqn peut-il m'expliquer cette limite très facile ?

[Alpha]

Florix, je comprends que tu aies pu te sentir blessé, mais il ne faut pas que tu réagisses ainsi. Comme l'a dit Nightmare, les membres ne doivent rester polis et éviter d'être agressif. Même si tu estimes qu'un autre membre ou un invité s'est mal comporté avec toi, tu dois t'abstenir de ce genre de comportement, et rester calme et poli.

Je t'invite à regarder ICI.

Cordialement, Alpha

[Florix]

Oui c'est pour ça que j'ai supprimé mon message initial, voyant que je m'étais un peu emporté !

Ceci dit, si qqn pouvait m'expliquer la limite de ma suite, ce serait très gentil de sa part :happy2:

[sept-épées]

Si c'est vraiment facile, la solution m'intéresse! c'est un résultat classique qu'on démontre souvent avec des séries de Fourier, grosse artillerie pour pas grand-chose...

(Je me suis cassé les dents sur une tentative de comparaison avec des sommes de Riemann, en appliquant les inégalités à x=k.pi/2n...ça ne vient pas immédiatement)

[Florix]

Oui moi aussi je suis très interessé par cette solution !

[Nightmare]

Re bonsoir

Il est clair que, si jamais on a à utiliser le théorème des gendarmes, alors il ne nous donnera pas directement la limite de la suite, tout simplement car il est demandé de démontrer que la suite diverge vers +oo, chose qui ne se démontre pas avec le théorème des gendarmes (qui permet de conclure sur une limite finie).

Donc il doit y avoir des modifications à apporter à l'inégalité

:happy3:

[Pythales]

C'est effectivement très facile ...
"Ya qu'à" partir de :
(cos(a)+i.sin(a))^(2p+1)=cos(2p+1)a+i.sin(2p+1)a
On développe le premier membre en ne retenant que la partie imaginaire, et après quelques transformations élémentaires, on vérifie que (cotg(k.pi/(2p+1))^2 avec k=1...p sont racines de :
C(2p+1,1)u^p-C(2p+1,3)u^(p-1)+...+(-1)^p.C(2p+1,2p+1)=0
d'où somme racines=somme(cotg(k.pi/(2p+1))^2=p(2p-1)/3
et comme 1/(sin(x))^2=1+(cotg(x))^2, somme 1/(sin(k.pi/(2p+1))^2=p(2p+2)/3
D'après les gendarmes (enfin eux, mais ce sont de hauts gradés) :
p(2p-1)/3soit pi^2.p(2p-1)/(3.(2p+1)^2)qui tendent tous deux vers (pi^2)/6.
Vous voyez comme c'est simple !

NB somme veut dire somme pour k variant de 1 à p, vous l'aviez compris