Limite de la dérivée d'une fonction tendant vers zéro

[chnafon]

Bonsoir,

Pour résoudre un exercice lambda, j'ai tenté de faire une conjecture, le problème étant: je ne me souviens plus très bien de ce que mon fastidieux cours raconte dessus. La voici: " f(x): R -> R, f est C1 sur R entier. On a lim f(x) = 0 quand x tend vers +oo. Alors lim f'(x) = 0 quand x-> +oo "
Ne trouvant pas de contre-exemple facile (il pourrait en exister un, evidemment, je ne l'ai juste pas trouvé) je me suis risqué à l'ebauche d'une "preuve" par l'absurde. Evidemment je ne suis sûr de rien cela étant cette "preuve" peut tout aussi bien être fausse puisqu'elaborée par un modeste eleve: Supposons que lim |f'| = M avec M ;) adh(R) non nul.

i.e pour tout ;) > 0 il existe un x0 assez grand tel que pour tout x> x0 |f'|>M-;)
Par le théorème des accroissement finis on obtient, pour tout x,y > x0, |f(x)-f(y)|>M|x-y|
En prenant, avec n un entier naturel, x=n+1 et y=n, il vient |f(n+1) - f(n)| >M. On en conclut par le critère séquentiel de continuité que f ne tend par vers zéro. En effet, on peut donc minorer la suite f(n) par une suite arithmétique de raison M non nulle donc divergente.
Treve de charabia, ma question est simple: ma conjecture est-elle fausse et, le cas échéant, ou se situe mon erreur dans ma preuve? Bien à vous.

[Ben314]

Salut,
Non, le résultat est faux et... je te laisse trouver toi même un contre exemple en te donnant une indication "graphique" :

On se donne un fonction "sympathique" g, strictement positive et qui tend vers 0 en +oo.
Le théorème des gendarmes te alors dit que toute fonction f telle que -g(x)Sauf, que dans cette "zone" de points (x,y) où y est entre -g(x) et g(x), rien n'empêche la fonction f d'être "fort peu sympathique" et de s'obstiner à monter et descendre à toute vitesse entre les deux bornes qui lui sont imparties (évidement, elle ne peut pas monter "fort" pendant longtemps vu que la bande est de moins en moins large, mais... quand même...)

A toi la main...

[Ben314]

Tel le prof de base, je corrige (en rouge...)

Supposons que lim |f'| = M avec M adh(R) non nul.
Là, gros problème : qu'est ce qui permet d'affirmer que f' admet une limite dans adh(R) ?
Elle pourrait tout aussi bien osciller tout le temps et ne tendre vers... rien du tout..., même en valeur absolue, et même dans adh(R). Par exemple x->sin(x) n'a pas de limite du tout en +oo

i.e pour tout > 0 il existe un x0 assez grand tel que pour tout x> x0 |f'|>M-;)
Par le théorème des accroissement finis on obtient, pour tout x,y > x0, |f(x)-f(y)|>(M-;))|x-y|
Et il faut avoir choisi le de façon à ce que M-;)>0 si on veut pouvoir en déduire quelque chose.
Par exemple, on peut prendre =M/2
En prenant, avec n un entier naturel, x=n+1 et y=n, il vient |f(n+1) - f(n)| >M-;). On en conclut par le critère séquentiel de continuité que f ne tend par vers zéro. En effet, on peut donc minorer la suite f(n) par une suite arithmétique de raison M-;) non nulle donc divergente.
Le fait que la raison soit "non nulle" est insuffisant ici, vu que l'on MINORE, il faut être sûr que la suite arithmétique tend vers +oo (minorer par un truc qui tend vers -oo ne sert pas à grand chose) donc le bon argument est "...de raison strictement positive"

A part la grosse erreur du début, et le fait qu'on pourrait faire un peu plus simple à la fin, c'est bon et cela montre que, si f' admet une limite en +oo alors cette limite est forcément nulle

[wserdx]

Une illustration...
sin(exp(x)-1)^2/x
et sa dérivée
derivée

[chnafon]

J'ai compris, merci à vous deux :)