Ligne de niveau

[Crysalides]

Bonjour à tous,

Je travailles actuellement sur un exercice sur les courbes de niveau, et je dois vous avouez que je n'y arrive pas du tout ...

Alors mon exercice :
Soient les points A(1,1), B(0,4) de P dans un repère orthonormal direct(O,i,j). Determiner une équation cartesienne du cercle qui porte l'ensemble des points M du plan tel que (MA,MB)=PI/3 [PI] ; donner son rayon et les coordonnées du centre.

Alors bon, voilà ce que j'ai fais sans réel succès :

Soit M(x,y), alors MA(1-x;1-y) et MB(-x,4-y)
(MA,MB) = PI/3 mod pi
Il existe W(x',y') unique tel que (MA,MB)=1/2(WA,WB) car droites non parallèles car PI/3!=0
Et là je ne sais quoi faire :s

Avez vous une idée pour me faire avancer ?

Merci d'avance!

[Finrod]

Il faut penser au théorème d'Al Kashi



ça ressemble bien a une équation de conique. Mais je ne me risquerai pas à aller plus loin, ça semble fastidieux.

[Ben314]

Salut,
Quasi la même chose que Finrod, mais peut-être un peu plus naturel à écrire :

où désigne le produit scalaire.

(En fait, si on veut être "pédant", l'ensemble en question est un cercle privé des deux points A et B vu qu'on ne peut pas mesurer d'angles avec le vecteur nul)

[Crysalides]

Pas bête du tout cette façon d'utiliser cosinus! Je regarde ça demain matin dès l'aube, car là :dodo:

Sinon, Al Kashi !! Complètement sortie de ma tête celui là!

Merci à vous pour vos réponses, je posterai ma rédaction demain pour avoir des avis,

Bonne nuit

[Ben314]

Heuuuuu,
O.K., le "coup du cosinus" (que ce soit le mien ou celui de Finrod), c'est joli, mais en fait c'est une connerie du fait que cos(x)=1/2, c'est équivalent à x=+-pi/3 modulo 2pi et ce n'est pas du tout la même chose que x=pi/3 mod pi.
Donc, dans les deux cas, tu obtient une équation toute pourrite qui n'est pas du tout celle d'un cercle (elle est de degrés 4) mais celle de deux arcs de cercles (et, par le calcul, c'est super dur à repérer...)

Une méthode qui marche nettement mieux (à condition que tu ais vu les notions...) : tu écrit la matrice de la rotation d'angle pi/3, tu en déduit les coordonnées de l'image V du vecteur MA par cette rotation puis tu dit que, pour que l'angle (MA,MB) fasse pi/3 modulo pi, il faut et il suffit que V et MB soit colinéaires (si MB=kV alors l'angle est de pi/3 lorsque k>0 et il est de pi+pi/3 lorsque k<0). Bien sûr, pour traduire que les deux vecteurs sont colinéaires, tu écrit que le determinant doit être nul.
En procédant ainsi, tu tombe direct sur une équation de cercle (ouf!!!)

[Crysalides]

Effectivement, c'est pour ça que je trouvai un truc ne ressemblant vraiment pas à une équation de cercle...

En ce qui concerne la matrice de rotation, on a pas encore vu ça, donc je ne peux l'utiliser...

Est-ce que j'ai le droit d'assimiler mon plan à un plan complexe, puis d'utiliser la rotation d'angle pi/3 sur MA afin de trouver V ?

Je pense pas car le déterminant me donne au final (1/2 - 1/2x)(4-y)-(SQRT(3)/2-SQRT(3)/2y)(-x)=0

Je suis vraiment sur une mauvaise piste je pense... La je suis à sec, ça fait 2h que je passe sur cet exo et aucune piste --' j'arrive pas à passer des angles à quelque chose d'analytique...

[Ben314]

Effectivement, si tu as pas vu les matrices de rotations, passe par les complexes (au fond, c'est exactement les mêmes calculs comme tu le comprendra... quand tu aura vu les matrices) :
L'affixe z du vecteur AM est ...
Faire tourner le vecteur AM d'un angle de pi/3 revien à multiplier son affixe par exp(i.pi/3)=...
ce qui donne comme résultat ...
Tu n'as plus qu'à regarder à quelle condition ce dernier vecteur/complexe est colinéaire au vecteur/complexe BM.

[Crysalides]

Salut,

Alors j'arrive finalement à cette conclusion :



Ai-je des points importants à vérifier au niveau de la redaction ?

Je l'ai présentée ainsi :

Soit v(z) l'image de MA(1-x,1-y) par la rotation d'angle pi/3 :
z=e(iPI/3)*[(1-x)+i(1-y)] z = ...

Ainsi (MA, MB) = PI/3 [PI] V et MB colineaire [V,MB] = 0 (x-...)²+(y-...)²=h
Donc cercle de centre (...,...) et de rayon racine carré de h.
Est-ce bon?

En tout cas, merci infiniment de votre précieuse aide!

[Ben314]

Ca me parrait impeccable.
Peut être pourrait tu détailler le lien entre "colinaire" (avec un coeff >0 ou bien <0) et "égalité angulaire modulo pi" (donc deux possibilités modulo 2pi), mais là, c'est toi qui voit...

[Crysalides]

Juste pour rajouté qu'il existe une autre méthode en utilisant la tangente et le faite que tan(MA,MB)=[MA,MB]/(MA.MB) ...

Voilà :)

[Ben314]

Effectivement, et en plus, ça semble plus naturel que d'utiliser des rotations.