Les inavouables de la Licence

[Lostounet]

Hello,

Suite à l'obtention de ma licence, j'aimerais avoir la conscience tranquille en posant quelques petites questions "éparpillées"... sur des choses qui sont pas très au point dans mon esprit. Au fur et à mesure que j'y penserai.

Commençons par ce qui me passe par la tête à 3 am:
* quel lien existe-t-il entre connexité et connexité par arcs... ? Je n'ai jamais trop compris le lien entre ces deux notions... quelqu'un aurait-il quelque chose de connexe mais pas par arcs (les arcs étant au moins continus dans cette vie). Quand on me demande la connexité, souvent je me précipite vers les chemins continus rapidement et sans glisser...

* A quoi peut servir le théorème de Baire dans sa version simple ? Comment l'illustrer simplement?

[Kolis]

Bonjour !
La connexité par arcs implique la connexité, pas l'inverse.
Par exemple, dans le plan euclidien, l'union de et du graphe de est connexe (adhérence de la deuxième partie qui est connexe) mais pas connexe par arcs (impossible de joindre un point du premier ensemble à un autre du deuxième par un arc continu inclus dans l'ensemble.

Pour répondre à ta deuxième question que veut dire "version simple" du théorème de Baire ?

[Lostounet]

Bonjour !
La connexité par arcs implique la connexité, pas l'inverse.
Par exemple, dans le plan euclidien, l'union de et du graphe de est connexe (adhérence de la deuxième partie qui est connexe) mais pas connexe par arcs (impossible de joindre un point du premier ensemble à un autre du deuxième par un arc continu inclus dans l'ensemble.

Pour répondre à ta deuxième question que veut dire "version simple" du théorème de Baire ?

Bonjour Kolis,
Et merci de ta réponse.

Comment formaliser le fait que l' adhérence de la 2e partie est connexe?
J'ai essayé de tracer la partie correspondante pour voir... Mais oui j'ai bien l'impression qu'on ne peut pas les joindre par un chemin continu... Mais il fallait le trouver celui-là

Pour préciser ma 2e question: A quoi peut servir la notion "d'espace de Baire" dans laquelle "toute intersection d'ouverts denses est dense". Pour moi, je vois pas ce qu'il y a de particulier (sûrement à tort): pour moi, si on intersecte des trucs denses, ça reste dense. Pourquoi la dénombrabilité est importante, par exemple?

[lionel52]

Pour préciser ma 2e question: A quoi peut servir la notion "d'espace de Baire" dans laquelle "toute intersection d'ouverts denses est dense". Pour moi, je vois pas ce qu'il y a de particulier (sûrement à tort): pour moi, si on intersecte des trucs denses, ça reste dense. Pourquoi la dénombrabilité est importante, par exemple?

Si tu prends les ensembles denses dans R : Ax = R \ {x}. Alors l'intersection des Ax est l'ensemble vide

[Lostounet]

Si tu prends les ensembles denses dans R : Ax = R \ {x}. Alors l'intersection des Ax est l'ensemble vide

Ben "Vide ou dense" alors...

[Kolis]

Comment formaliser le fait que l' adhérence de la 2e partie est connexe?
J'ai essayé de tracer la partie correspondante pour voir... Mais oui j'ai bien l'impression qu'on ne peut pas les joindre par un chemin continu... Mais il fallait le trouver celui-là

Tout simplement : le graphe est connexe par arcs (continuité de la fonction ) et l'adhérence d'un connexe est connexe .

En fait, si est connexe et alors est connexe. Supposes que des ouverts non vides de vérifient .
Avec qui sont des ouverts non vides de tu as une contradiction avec la connexité de .

Si tu intersectes des trucs denses tu obtiens un dense SI ton intersection est finie.

non vides ajouté 2e 21/07, 09h52