Les fonctions

[Rockleader]

OUI si on te demande uniquement l'existence de cette fonction

C'était la première partie, mais on me demande ensuite de calculer la fonction inverse en question.

S'il s'agit de réciproque, je ne sais pas si mon raisonnement est juste mais je dirais q'ul s'agit de la réciproque de x^3 + la réciproque de x+1

Soit racine cubique de x + ... ?

et si x=0 ???

On a pas le même ensemble de définition dans ce cas là...mais bon c'est pas la question ici, j'ai mis cet exemple juste pour faire comprendre la confusion....

[Anonyme]

@Rockleader

Et bien bonne chance car il te faut exprimer une expression du type à partir de l'équation

ps)
Ta notion de fonction inverse n'a aucun sens (d'après mes connaissances dites "mathématiques")

[Black Jack]

@Rockleader

Et bien bonne chance car il te faut exprimer une expression du type à partir de l'équation
ps)
Ta notion de fonction inverse n'a aucun sens (d'après mes connaissances dites "mathématiques")

On peut le faire :lol3: :

x = y³+y+1

y³+y+1-x = 0

Par Cardan :
p = 1 ; q = 1-x

(q/2)² + (p/3)² = ((1-x)/2)² + (1/3)³ = (1 - 2x + x²)/4 + 1/27

(q/2)² + (p/3)² = x²/4 - x/2 + 1/27 + 1/4

(q/2)² + (p/3)² = x²/4 - x/2 + 31/108

---> Le discriminant de x²/4 - x/2 + 31/108 = 0 est négatif et donc (q/2)² + (p/3)² a le signe du coeff de x², donc > 0

Il y a une racine réelle R.
R = ((-(q/2)+((q/2)² + (p/3)³)^(1/2))^(1/3)) + ((-(q/2) - ((q/2)² +(p/3)³)^(1/2))^(1/3)).

y = ((-((1-x)/2) + (V(x²/4 - x/2 + 31/108)))^(1/3)) + ((-((1-x)/2) - (V(x²/4 - x/2 + 31/108)))^(1/3)

Et voila, ... mais c'est un rien indigeste.

:zen:

[Sylviel]

Au lycée il est évident que inverse signifie inverse pour la multiplication. En revanche dans le supérieur inverse de x signifie (dans un monoïde) un élément y tel que xy=yx=e (e élement neutre). Or les fonctions sont vites reliées à l'opération de composition, et donc "l'inverse" peut être entendu comme l'inverse pour la composition -donc la réciproque.

Finalement si tu parles bien de l'inverse pour la multiplication il te suffit de justifier que 1/f existe c'est à dire que f ...

[Rockleader]

Bon, ok...


dans ce cas la fonction inverse de

sera


ou bien la fonction inverse est en fait la fonction dite réciproque de P telle que

Vers quelle solution dois je m'orienter ?





Sachant que dans la suite de mon exercice, je dois dérivé la fonction obtenu et regarder des résultats pour quelques valeurs.


Encore après on me demande de faire des recherches sur la formule de cardan pour voir comment on aurait pu répondre à a question avec cette formule de cardan et d'en donner l'expression.
Donc la solution de Black serait juste mais ce n’est apparemment pas ce qui est attendu dans la dite question.






Je récapitule

J'ai prouvé que la fonction inverse existait grâce à la bijection, je note G la fonction inverse.
G possède donc les même propriété que P, elle est donc continue et dérivable.
Je dois ensuite calculer G'(1) et G'(2) et c'est à ce moment là qu'il me semble impossible de faire sans connaitre l'expression de G et SANS UTILISER la formule de cardan à ce niveau là.

[Doraki]

Y'a pas besoin d'avoir une formule pour G pour calculer G' en un point particulier.
Il suffit de dire que G°F = la fonction identité, et de dériver. comme ça t'obtiens un truc qui parle de G'.

[Rockleader]

Y'a pas besoin d'avoir une formule pour G pour calculer G' en un point particulier.
Il suffit de dire que G°F = la fonction identité, et de dériver. comme ça t'obtiens un truc qui parle de G'.

La fonction identité tu veux dire e ?

Je ne vois quand même pas comment on peut faire sans connaître l'expression de G --' désolé

[Doraki]

la fonction identité, je veux dire la fonction qui à x associe à x.
Ptetre que tu l'appelles e, mais e ça peut désigner plein de trucs.

c'est quoi la dérivée de la fonction x -> x ?
c'est quoi la dérivée de la fonction x -> g(f(x)) en termes de g', f', et f ?

[Rockleader]

la fonction identité, je veux dire la fonction qui à x associe à x.
Ptetre que tu l'appelles e, mais e ça peut désigner plein de trucs.

c'est quoi la dérivée de la fonction x -> x ?
c'est quoi la dérivée de la fonction x -> g(f(x)) en termes de g', f', et f ?

La dérivé de la fonction x -> x c'est 1.

La dérivé de la fonction x -> g(f(x)) c'est f ' * g' (f(x))

[Doraki]

maintenant met un signe = entre les deux et regarde ce qui se passe pour x=0, f(x) = x^3+x+1, et g = la réciproque de f.

[Rockleader]

maintenant met un signe = entre les deux et regarde ce qui se passe pour x=0, f(x) = x^3+x+1, et g = la réciproque de f.

Pour x=0, P (pour reprendre ma notation) vaut 1.

Donc la réciproque prend la valeur g(P(x=0)) = G(1) mais voilà on ne connait toujours pas l’expression de G...


Je dois m'absenter pour ce soir, j'essaierais de comprendre demain...

[Anonyme]

On peut le faire .....
Et voila, ... mais c'est un rien indigeste.

Salut
Juste pour savoir : quel est le niveau pour "faire" une solution telle que tu l'as écrit
je dirai même : parfaitement et donc toi tu as le niveau, mais pas moi .... hélas... -:)

Licence ? , Master ? , Agreg ?

[Anonyme]

@Sylviel

Au collège on explique que -x est l'opposé de x car on a x + (-x) = e avec e=0 pour le groupe (Z , +)

Puis on explique que l'inverse de x est 1/x car on a x * (1/x) = e avec e=1 pour le groupe (Q^* , *)

Mais en faculté , je n'ai jamais entendu parlé de la notion d'inverse d'une fonction ?

Question : Quel est l'intérêt d'une telle notion ?

ps)
qui n'a rien à voir avec la notion de fonction réciproque
qui est (si on peut le dire ?) "l'inverse de le fonction f pour l'opérateur composition "°"

[Nightmare]

ptitnoir >

1) Les formules de Cardan ne sont officiellement dans aucun programme mais se rencontrent souvent dès les premières années de licence sous forme d'exercice. J'ai même vu une activité dans un livre de terminale amenant à une démonstration des formules de Cardan mais pour une équation où les coefs étaient donnés.

2) Concernant l'inverse (au sens de la multiplication) chez les fonctions, le fait d'en parler et de l'appeler ainsi vient du fait qu'il y a deux lois multiplicatives naturelles chez les fonctions qui sont la composition et la multiplication usuelle définie par : f*g est la fonction x->f(x)g(x).

Du coup, on peut parler d'inverse pour l'une autant que pour l'autre. C'est justement pour les distinguer qu'on parlera plutôt de réciproque pour la composition.

Cela dit, il arrivera quand même souvent de parler d'inverse chez les fonctions pour dire "réciproque" dans les cas où la composition est la seule loi multiplicative naturelle.

Par exemple, si on travaille avec des espaces vectoriels, la loi précédemment définie sur R^R par f*g est la fonction x->f(x)g(x) n'aurait plus de sens car on ne sait pas a priori ce que c'est que multiplier deux vecteurs entre eux.

De fait, dans un espace vectoriel, on ne fait que composer les fonctions entre elles si bien qu'il n'y a plus d'ambiguïté à parler d'inverse plutôt que de réciproque. On parlera donc de l'inverse d'une application linéaire ou d'une matrice.

[Rockleader]

Je déduis du post de Nightmare que dans mon exercice on me parle bien de la fonction réciproque par le biais d'inverse ?



Pour en revenir à l'exercice, je ne vois tout de même pas comment trouver la valeur de G ' (1) et G'(2) sans connaître G au préalable...

[Nightmare]

Oui, la suite de l'exercice tout comme son début avec la notion de bijection ne laisse plus aucun doute, il s'agit bien de réciproque dans l'énoncé.

Pour le calcul des valeurs de la dérivée, Doraki t'a donné la clé principale avec la formule de dérivation d'une composée :

(fog)'=(f'og).g'

Si f et g sont réciproques l'une de l'autre, fog=Id donc (fog)'=1. On doit donc avoir (f'og).g'=1 c'est à dire g'=1/(f'og).

Donc par exemple g'(1)=1/(f'(g(1)))

[Mathusalem]

Je noterai juste par rapport à la première partie de l'exercice, que pour x > 0, l'expression arctan(1/x) + arctan(x) peut se voir comme la somme des angles aigus d'un triangle rectangle de cathètes 1 et x. On en déduit alors pi/2.

[Anonyme]

@Rockleader
Suite aux messages de Doraki et de Nightlmare : si on note , c'est à dire si tu appelles g la fonction réciproque de la fonction

(notion qui de temps en temps s'appelle aussi [I]"fonction inverse" :
terminologie qui est à mon avis à éviter pour ne pas confondre avec la fonction g définie par [/I])


alors tu sais que
si les 2 fonctions et g sont dérivables en tout point de leur domaine de définition
( c'est à dire en tout et en tout )
alors on a la relation :

g'=1/(f'og) : par exemple g'(1)=1/(f'(g(1)))

Question :
Quelle est la condition sur la fonction pour que la fonction soit bien définie ?

[Doraki]

Pour x=0, P (pour reprendre ma notation) vaut 1.

Donc la réciproque prend la valeur g(P(x=0)) = G(1) mais voilà on ne connait toujours pas l’expression de G...

puisque P(0)=1, que vaut G(1) ?

[Anonyme]

@Nightmare

Merci pour tes explications sur la notion de fonction inverse du type

J'ai crée une nouvelle discussion pour éviter de polluer cette discussion avec des HS
ET pour essayer qu'on puisse "discuter" / "détailler" de cette notion tous ensemble...
A+

ps)
référence de la nouvelle discussion :
http://www.maths-forum.com/notion-fonction-inverse-l-operateur-multilicatif-134420.php