Rockleader a écrit:Mais je ne vois pas en quoi ça aide à dire que l'inverse de la fonction en question existe.
Pire que montrer qu'elle existe, le fait de savoir que la fonction est bijective permet de construire sa réciproque, en tout cas, ponctuellement :
Si f est bijective, cela veut dire que chaque y à l'arrivé a un
unique antécédent x par f, ie tel que f(x)=y.
Pour définir l'inverse de f, il suffit simplement d'associer à un réel y son antécédent x par f :
=y\Rightarrow f^{-1}(y)=x)
où f-1 dénote l'application inverse.
Par exemple :
La fonction x->x^3 est bijective sur R. 2 est un antécédent de 8, donc l'image de 8 par l'application inverse est 2.
Plus généralement, un antécédent d'un réel y quelconque est
(racine cubique). Alors la fonction réciproque est l'application
.
Mais comme je l'ai dit, tout ça ne nous fournit que théoriquement la fonction inverse, car en pratique, il faut pouvoir être capable de donner une formule pour les antécédents par f, ce qui n'est pas toujours le cas.
Par exemple, si f(x)=x.exp(x), on montre qu'elle est bijective de R+ dans R+ par exemple car continue et strictement monotone d'image R+, donc à chaque y positif correspond un unique x lui aussi positif tel que x.exp(x)=y.
Problème : comment exprimer x en fonction de y?
