Bonjour :
Théorème :
Soit
un anneau commutatif.
Considèrons un diagramme d'homomorphismes de
modules :
dans lequel les deux lignes sont supposées exactes et les deux carrés commutatifs :
et
. Il existe alors un homomorphisme canonique
tel que l'on ait une suite exacte :
Démonstration :
 $)
On a
 \subset \ker g $)
et
 \subset \ker h $)
. En effet : si
verifie
 = 0 $)
alors :
) = (g \circ i) (x) = (i' \circ f) (x) = i'(f(x)) = 0 $)
, donc :
 \in \ker g $)
. De même : si :
, on a :
) = (h \circ p) (y) = (p' \circ g)(y) = p'(g(y)) = 0 $)
, donc :
 \in \ker h $)
.
On a ainsi des homomorphismes :
et
.
 $)
On a :
 \subset \mathrm{Im} g $)
et
 \subset \mathrm{Im} h $)
. En effet : si
, soit
tel que
 $)
. Alors,
 = (i' \circ f)(x) = (g \circ i)(x) = g(i(x)) $)
, ce qui prouve que
 $)
appartient à
.
De même, si
, soit
tel que
 $)
. On a alors
 = (p' \circ g)(y) = (h \circ p)(y) = h(p(y)) $)
donc
 $)
appartient à
.
Il en résulte que le noyau de lhomomorphisme composé :
contient
 $)
, doù par passage au quotient, un homomorphisme canonique
 = N' / \mathrm{Im} (f) = \textrm{coker} (g) $)
. De même, on en déduit un homomorphisme :
 \longrightarrow \textrm{coker}(h) $, induit par $p' $)
.
 $)
Lhomomorphisme
est injectif : si
 = 0 $)
,
 = 0 $)
donc
.
Comme
est la restriction à
de
et comme
, on a
donc
. Réciproquement, soit
. On a donc
et
 = 0 $)
.
Comme la première ligne du diagramme est exacte,
. Soit ainsi
tel que
 $)
. On a
 = g(i(x)) = (g \circ i)(x) = (i' \circ f)(x) = i'(f(x)) $)
. Comme
est injectif,
et
. Par suite,
 \in i(\ker f) = i_{*}(\ker f) $)
.
 $)
Lhomomorphisme
est surjectif : si
, on peut écrire :
 $)
avec
. Comme
est surjectif, il existe
tel que
 $)
. Alors, par définition de
, on a
) $)
, si bien que
.
On a
. En effet, par définition de
, si
) = cl(i'(x')) $)
, doù :
)) = p'_{*}(cl(i'(x'))) = cl(p'(i'(x'))) = 0 $$)
Réciproquement, si
) = 0 $)
, on a :
) = 0 $)
, doù :
 \in \mathrm{Im} h $)
. On écrit :
 = h(z) $)
avec
. Comme
est surjectif, il existe
tel que
 $)
et
 = h(p(z)) = p'(g(z)) $)
. Ainsi,
 $)
appartient à
, donc est de la forme
pour
. Finalement,
 = cl(g(z) + i'(x')) = cl(i'(x')) = i'_{*}(x') $$)
doù
.
$e) $ Nous allons maintenant construire lhomomorphisme
. La restriction à
 = \ker ( h \circ p) $)
de
fournit un homomorphisme
 \longrightarrow M $)
dont limage est contenue dans le noyau de
( si
) = 0 $)
,
) = 0 $)
). Puisque
et comme
est un isomorphisme, il en résulte un homomorphisme canonique
 \longrightarrow N' $)
que lon compose ensuite avec la surjection canonique
 $)
, doù un homomorphisme
 \longrightarrow \textrm{coker} (f) $)
.
Si
 \in i(N) $)
, on a
 = i'(f(x)) $)
, donc
 = cl(f(x)) = 0 $)
. Ainsi,
contient
 $)
, doù par passage au quotient un homomorphisme bien défini :
 / p^{-1} (0) = p^{-1} (\ker h) / i(N) \ar[r]^{\gamma } & \textrm{coker} f \\ <br />} <br />$$)
Concrètement, limage dun élément
de
par lhomomorphisme
est obtenue de la façon suivante : Comme
est surjectif, il existe
tel que
. Alors,
 = h(p(y)) = p'(g(y)) $)
, donc
 \in \ker p' = \mathrm{Im} i' $)
. Il existe ainsi
tel que
 = i'(x') $)
. Alors,
 $)
est la classe de
dans
 = N' / \mathrm{Im} f $)
.
 $)
Montrons que
.
Soit
, doù
tel que
 = z $)
. Autrement dit,
 = 0 $)
et avec les notations du paragraphe précédent,
, doù
 = 0 $)
et
.
Réciproquement, si
, on a
, donc
pour un certain
et
 = i'(x') = g(i(x)) $)
. On a donc
 \in \ker g $)
. Par suite,
 = p(y - i(x)) \in p(\ker g) = \mathrm{Im} p_{*} $)
.
 $)
Enfin, montrons que
.
Soit
; avec les mêmes notations,
) = i'(cl(x')) = cl(i'(x')) = cl(g(y)) = 0 $)
, donc
 \in \ker i'_{*} $)
et
.
Réciproquement, soit
. On peut écrire
 $)
. On a alors
 = cl(i'(x')) $)
. Par suite,
 \in \mathrm{Im} g $)
. Si
 = g(y) $)
avec
, on a par définition
) = cl(x') = \xi ' $)
si bien que
.
Le théorème est donc démontré.
Questions :
 $)
Dans le paragraphe :
 $)
, pourquoi :
 = cl(f(x)) = 0 $)
.
 $)
Toujours dans le paragraphe
, pourquoi :
 / p^{-1}(0) $)
.
Merci infiniment !
