Lemme de la moyenne, théorie de la mesure.

[KKLK]

Bonjour a tous,

J'essaie de démontrer la proposition suivante mais je dois encore justifier une étape.

Soit tel que avec constant, pour tout tel que . Nous avons donc que presque partout.

Voici ma démonstration:

Pour tout tel que :


Ensuite je sais d'aprés un théorème vu en classe que si alors .

De là, je pouvais conclure que presque partout et finalement presque partout.

Le seul problème est que dans le théorème que j'ai utilisé, j'ai besoin que la condition soit vraie pour tout et je n'ai que les tels que .

Est-ce que quelqu'un sait pourquoi je peux ignorer les cas ?

Le professueur a suggéré que je montre que mais je ne vois pas comment cela m'aide.

[GaBuZoMeu]

Aucune hypothèse n'est faite sur la mesure ?
Alors j'ai bien l'impression que le résultat est faux.
Tu prends pour la mesure sur la tribu de Lebesgue de telle que soit égale à la mesure de Lebesgue si ne contient pas 0 et à si .
Tu prends pour la fonction qui vaut 0 partout sauf en 0 où elle vaut 2. L'hypothèse sur est vérifiée pour , mais la mesure de est infinie.


PS. Ah, je vois ce que j'ai loupé : ma fonction est mesurable, mais pas !!!
Tu peux alors suivre l'indication de ton professeur et t'intéresser à la mesure de pour . Elle est bien finie car est . Que se passe-t-il si elle est non nulle ?

PPS Il me semble qu'on arrive à la même conclusion sans supposer dans , mais en supposant sigma-finie.

[KKLK]

Je ne vois toujours pas comment y arriver. Je comprends que je veux trouver une contradiction:

.

Si , on peut utiliser l'hypothèse:



Mais je ne peux pas aller plus loin.

[GaBuZoMeu]

Supposons
On a et donc au moins l'un de ces deux morceaux est de mesure non nulle. Qur peux-tu dire de la valeur absolue de la moyenne de sur ce morceau ?

[KKLK]

Par exemple, si



et j'arrive à une contradiction. C'est correct?

[GaBuZoMeu]

Tu peux poursuivre.