Bonsoir,
je lis actuellement "An Introduction to the math. of financial derivatives" et j'en suis au chapitre sur le lemm d'Ito. je bloque sur du basique... à savoir en page 241 :
dF(St,t) = Fs dSt + Ft dt + 1/2 Fss sigma^2 dt
avec Fs = dF/dS (dérivée partielle)
Ensuite il y a une application algébrique que je ne comprends pas, exemple :
F(Wt,t) = 3 + t + exp(Wt)
Ce qui donne selon dF(St,t) :
dFt = dt + exp(Wt) dWt + 1/2 exp(Wt) dt
ensuite on groupe les dt pour en déduire le sigma. Mais ce que je ne comprend pas c'est la dérivée seconde obtenue, à savoir :
exp(Wt) de l'expression 1/2 exp(Wt) dt qui est le Fss de la formule générale.
exp(Wt) ' = dWt exp(Wt)
et donc exp(Wt) '' = (dWt exp(Wt)) ' = exp(Wt) (dWt + d2Wt) et non dWt...
Pourriez-vous m'aider SVP.
Merci ! jm69
Lemm d'Ito et dérivée seconde
12 messages
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par jm69 » 19 Aoû 2007, 08:38
Bonjour,
dFt signifie la variation du prix d'une option (par ex. un call, option d'achat) quand le prix de son sous-jacent (par ex. une action) St varie.
dFt signifie la variation du prix d'une option (par ex. un call, option d'achat) quand le prix de son sous-jacent (par ex. une action) St varie.
par Blueberry » 19 Aoû 2007, 12:40
St dépend-t-il de t ou cette notation désigne-t-elle une variable indépendante de la variable t ?
par jm69 » 19 Aoû 2007, 13:50
en effet F dépend de t : le prix de l'option est fonction du temps.
je précise aussi que dF(St,t) est obtenu par la série de Taylor, d'où la présence du second degrés.
Si cela peux vous aider : http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_stochastique
je précise aussi que dF(St,t) est obtenu par la série de Taylor, d'où la présence du second degrés.
Si cela peux vous aider : http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_stochastique
par Blueberry » 19 Aoû 2007, 21:43
Ce que je trouve bizarre c'est que la fonction :
F : t---->3 + t + exp(Wt) est une fonction de R dans R. Donc où es le problème ?
F : t---->3 + t + exp(Wt) est une fonction de R dans R. Donc où es le problème ?
par Isomorphisme » 20 Aoû 2007, 09:11
Bonjour,
Le calcul dont parle jm69 est en fait du calcul stochastique (intégration stochastique) : l'intégration se fait à partir d'une martingale (en l'occurrence d'un mouvement brownien standard, appelé également processus de Wiener standard).
Il s'agit d'un calcul intégral (dit calcul de Itô) qui n'est absolument pas le même que le calcul intégral de Lebesgue par exemple.
Je te conseille de lire par exemple "Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance" de Lamberton-Lapeyre (Edition Ellipse).
Avant de faire de la finance mathématique, il faut absolument maîtriser les notions de base du calcul stochastique. Et pour information, le calcul d'Itô repose en grande partie sur le lemme du même nom. Si je prends_{t \ge 0})
est un processus d'Itô défini sur un espace filtré )
, alors pout toute fonction 
on a :
 = f(0,X_0) + \int_{0}^t \frac{\partial f}{\partial t} (X_s) ds +\int_{0}^t \frac{\partial f}{\partial x} (X_s) dX_s + \frac{1}{2} \int_{0}^t \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_s) d \langle X \rangle_s)
où
est le crochet de 
en 
(grosso modo une variation quadratique valant ^2)
)
ou encore, on peut écrire en différentielle :
 = \frac{\partial f}{\partial t} (X_t) dt +\frac{\partial f}{\partial x} (X_t) dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t) d \langle X \rangle_t)
En pratique si)
est un mouvement brownien standard, les règles de calcul sont les suivantes :
^2 = dt)
et^2 = 0)
et 
Pa rapport à ton exemple :
 = 3 + t + e^x)
On a :
 = 1/TEX] <br />[TEX]F'_x (x,t) = e^x)
 = e^x)
Il vient alors (en utilisant le lemme d'Itô) :
 = dt + e^{W_t} dW_t + \frac{1}{2} e^{W_t} \underbrace{d \langle W \rangle_t}_{(dW_t)^2})
Et d'après les règles de calcul :
^2 = dt)
d'où le résultat auquel tu fais allusion.
Rmq : le lemme d'Itô n'est qu'une sorte de développement de Taylor (partiel) à l'ordre 2.
Ce fil n'a rien à faire dans la rubrique lycée (puisqu'il s'agit d'un niveau 3ème cycle du supérieur :merci Modérateur)
Le calcul dont parle jm69 est en fait du calcul stochastique (intégration stochastique) : l'intégration se fait à partir d'une martingale (en l'occurrence d'un mouvement brownien standard, appelé également processus de Wiener standard).
Il s'agit d'un calcul intégral (dit calcul de Itô) qui n'est absolument pas le même que le calcul intégral de Lebesgue par exemple.
Je te conseille de lire par exemple "Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance" de Lamberton-Lapeyre (Edition Ellipse).
Avant de faire de la finance mathématique, il faut absolument maîtriser les notions de base du calcul stochastique. Et pour information, le calcul d'Itô repose en grande partie sur le lemme du même nom. Si je prends
où
ou encore, on peut écrire en différentielle :
En pratique si
et
Pa rapport à ton exemple :
On a :
Il vient alors (en utilisant le lemme d'Itô) :
Et d'après les règles de calcul :
d'où le résultat auquel tu fais allusion.
Rmq : le lemme d'Itô n'est qu'une sorte de développement de Taylor (partiel) à l'ordre 2.
Ce fil n'a rien à faire dans la rubrique lycée (puisqu'il s'agit d'un niveau 3ème cycle du supérieur :merci Modérateur)
par anima » 20 Aoû 2007, 10:30
Isomorphisme a écrit:Ce fil n'a rien à faire dans la rubrique lycée (puisqu'il s'agit d'un niveau 3ème cycle du supérieur :merci Modérateur)
Je n'etais pas sur, donc...je deplace en superieur :id:
A tous les utilisateurs, il y a sous chaque post un petit icone ressemblant a un panneau d'excalamation. Si vous voyez un sujet n'etant pas dans la bonne categorie, priere de cliquer dessus afin d'en informer toute l'equipe :happy2:
par jm69 » 20 Aoû 2007, 20:06
Merci Isomorphisme,
j'ai bien acheté le livre que tu me conseilles, mais trop difficile pour moi pour une introduction sur le sujet alors que "An Introduction to the math. of financial derivatives" de Salih Neftci est beaucoup plus graduelle et didactique.
Finalement je crois avoir fais une confusion entre
) / dx = u(x) ' exp(u(x)))
et) / du(x) = exp(u(x)))
car /dZ = exp(Z))
avec )
... si je ne me trompe.
Encore merci pour votre aide. jm69
j'ai bien acheté le livre que tu me conseilles, mais trop difficile pour moi pour une introduction sur le sujet alors que "An Introduction to the math. of financial derivatives" de Salih Neftci est beaucoup plus graduelle et didactique.
Finalement je crois avoir fais une confusion entre
et
Encore merci pour votre aide. jm69
mvt brownien
par EDPAMAD » 30 Oct 2008, 04:59
en fait je ne comprends pas pourquoi d en t est egal a (dX)^2 quand X est un mouvemnt brownien standart.
j'ai bien acheté le livre que tu me conseilles, mais trop difficile pour moi pour une introduction sur le sujet alors que "An Introduction to the math. of financial derivatives" de Salih Neftci est beaucoup plus graduelle et didactique.
Finalement je crois avoir fais une confusion entre
et car avec ... si je ne me trompe.
Encore merci pour votre aide. jm69[/quote]
j'ai bien acheté le livre que tu me conseilles, mais trop difficile pour moi pour une introduction sur le sujet alors que "An Introduction to the math. of financial derivatives" de Salih Neftci est beaucoup plus graduelle et didactique.
Finalement je crois avoir fais une confusion entre
et
Encore merci pour votre aide. jm69[/quote]
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