Justification calcul d'une somme

[Elias]

Salut à tous, j'ai un petit problème de justification très rigoureuse dans le calcul d'une somme (c'est à dire que je comprends parfaitement le calcul mais je n'arrive pas à le justifier précisément, en utilisant les bons théorèmes et bons arguments).

Soient des entiers non nuls. Soit un nombre complexe vérifiant . On considère les séries suivantes (absolument convergentes) .
On considère maintenant la série produit de Cauchy associée à ces séries. Il s'agit par définition de la série suivante de somme : (dont on sait alors qu'elle est absolument convergente et que sa somme vaut le produit de ces séries mais cette dernière affirmation n'est pas importante pour ma question)



Comment passer rigoureusement de cette égalité à celle-ci :



Car on est en train d'inverser deux sommes en quelques sortes. Pour chaque, on cherche tous les uplets qui satisfont , on les somme et on a qui est différent de : on est pas content. Donc on chamboule tout l'ordre de sommation (la somme étant commutative, on peut) pour y numéroter selon ce qu'on désire. Mais pourquoi est-ce légitime ?

Merci d'avance.

[Elias]

Personne ?

[Doraki]

Ben on a toujours le droit de réordonner des sommes absolument convergentes.

Dans les deux cas c'est .

Dans la première version tu tries les k-uplets (n1...nk) selon la valeur de n1+n2+...+nk (que tu appelles n), et dans la seconde version tu les tries selon la valeur de a1n1+...+aknk (que tu appelles aussi n, ce qui n'est pas très malin) et dans ce cas tu peux remplacer les exposants par n puisque ben t'as trié selon la valeur de l'exposant.

[Elias]

Ah ok, c'est ce que je me disais aussi, ça vient du fait qu'une série absolument convergente est commutativement convergente (c'est même une équivalence).