Juste une petite démonstration

[Florix]

Bonjour,

Voici l'énoncé :
Soit (Un) une suite de réels strictements positifs telle que Un+1/Un tend vers la limite T de la suite en plus l'infini, et on sait que T<1 . Montrer que T = 0, cad que la suite tend vers 0.

Et la je suis bloque. Un+1/Un tend vers T<1 ce qui veut dire que la suite est décroissante.

On a donc 0 < Un+1 < Un < 1

La suite est décroissante, minorée par 0 elle est donc convergente.
Cependant, comment démontrer que T=0 ?

[nekros]

Salut,

A partir d'un certain rang, on a , plutôt non ?

A+

[yos]

Et la je suis bloque. Un+1/Un tend vers T<1 ce qui veut dire que la suite est décroissante.

On a donc 0 < Un+1 < Un < 1

Non ça ne marche pas. Au mieux on peut dire décroissante à partir d'un certain rang.
Mais il y a plus simple : si T est non nul, alors Un+1/Un tend vers...

[Florix]

.... vers T/T donc vers 1, or T<1. Raisonnement par l'absurde qui aboutit à une contradiction. Conclusion : T = 0 . C'est bien cela ?

Si oui c'était tout con en fait je me suis compliqué la vie !

Mais je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas conclure directement la suite est décroissante parce que si Un+1/Un tend vers une limite inférieur à un, cela veut dire que le quotient sera toujours inférieur à 1, et que par conséquent, quelquesoit le rang, Un+1 < Un ?
Je m'obstine mais c'est parce que je ne comprends pas mon erreur !

Merci en tout cas

[nox]

si Un+1/Un < 1 à partir de n=k, si i 1 ...

[yos]

converge vers 0,9 mais ses termes ne sont pas tous <1