Jordan

[Vlad-Drac]

Bonjour,
pour effectuer une réduction de Jordan, je trouve la matrice de passage (ca c ok)
je peut ensuite calculer P^-1 et faire J = PAP^-1 qui est grave chiant...
Je sais qu'on peut "deviner" J mais comment ?

la diagonale est constitué des valeurs propres et dans un bloc de jordan on place les 1 au dessu de la diagonale ok, mais on peut tres bien avoir plusieur bloc associé a une meme valeur propre.

je sais que le nombre de bloc de Jordan associé a une valeur propore X est = à dim ker (A-XI)
mais si on a 2 bloc associé a une seule valeur propre dans une matrice 4*4 il y a plusieur possiblité,
1 bloc de taille 1 et un de taille 3*3 ou 2 bloc de taille 2*2 . . .

voila je ne sais pas si j'ai eté tres clair :dodo:

merci

[Doraki]

ben ça dépend de la manière dont tu calcules ta nouvelle base.

Par exemple si t'as fait exprès qu'un vecteur de ta nouvelle base soit un vecteur propre, ben ça te dit quelle est son image dans la base (et donc la colonne correspondante dans la matrice P-1AP) sans que tu aies besoin de faire toute la multiplication de matrices.

[Vlad-Drac]

un exemple ? :)

[Doraki]

ben si t'as une application f représentée par une matrice
(1 2)
(3 4)

tu dis "j'ai essayé de résoudre f(x) = ;)x, et j'ai trouvé des solutions pour ;)1 = (5+sqrt(33))/2 et ;)2 = X - (5-sqrt(33))/2)" ou "le polynôme caractéristique de A est (X-;)1)(X-;)2)", puis "donc il existe deux vecteurs e1 et e2 tels que R² = Re1 + Re2, f(e1) = ;)1 e1 et f(e2) = ;)2 e2".

Donc (e1,e2) est une base de R², et par définition de e1 et e2, la matrice de A dans la base (e1,e2) est
(;)1 0)
(0 ;)2)

[Vlad-Drac]

okidoki.
je viens de fair un exo kelkun pourrais me dire si ca semble juste ?
si je prend la matrice:
A=
7 1 4
-1 -7 -4
-6 6 0
P(X) = -X^3

Ker(A-0*I) = vect {v1=(-4 0 7)}

donc 1 seul bloc de jordan
J=
0 1 0
0 0 1
0 0 0

v2=A*v1
v3=A*v2
et
P=
v1 v2 v3
v1 v2 v3
v1 v2 v3

right ??

[Doraki]

Donc tu prends v1 dans Ker A, et tu mets Av1 dans ta base ?

[Vlad-Drac]

ha ouais je fais n'importe quoi.
on cherche v2 tel que:
A*v2=v1
A*(x,y,z)=(-4,0,7) et on resoud

et v3
A*v3=v2

c mieu ? ?

[Vlad-Drac]

petit up du topic