Isomorphisme entre E et E*

[Obito31]

Bonjour
J'aimerais savoir pourquoi l'application définie tel qu'elle n'est pas un isomorphisme canonique entre E et E*

À x j'associe u (x) tel que u (x)(y)=(sigma)xi.yi

[Ben314]

Salut,
Sur R^n où tu as une notion de "base canonique" et où on peut envisager de parler des xi et des yi sans préciser la base, ton truc aurait du sens pourrait éventuellement être appelé "isomorphisme canonique" entre R^n et (R^n)'.

Mais dans un espace vectoriel quelconque (de dimension finie) E, ça ne marche pas vu que pour parler de xi et de yi, il faut commencer par choisir une base et que l'application dont tu parle dépend de la base choisie donc n'est absolument pas "canonique".

[Obito31]

Salut ben et merci pour ta réponse

Pourai tu s'il te plaît me donner un exemple d'espace vectoriel ou sa marche pas ? Est ce que l'espace des polynômes de degré 1 convient ?

D'ailleurs comment on définie une appliaction de R[X] dans son dual ?

[Ben314]

Ben n'importe quel E.V. qui n'est pas "canoniquement" isomorphe à R^n convient.
Par exemple, le premier qui me vient à l'esprit, c'est l'espace vectoriel formé des (a1,a2,a3) de R^3 tels que a1+a2+a3=0 (qui est en fait un s.e.v. de R^3).
C'est un e.v. de dim 2, et je voudrais que tu m'explique, face à un X=(a1,a2,a3) tel que a1+a2+a3=0, qui sont le x1 et le x2 dont tu parle dans ta formule som(xi.yi) de ton premier post.

[Ben314]

D'ailleurs comment on définie une appliaction de R[X] dans son dual ?

A un polynôme P de R[X], il faut que tu associe (linéairement) un élément du dual de R[X], c'est à dire une application linéaire (dépendant bien sûr de P) qui va de R[X] dans R.
Tu peut par exemple prendre pour tout Q de R[X] (vérifie que ça marche).

[Obito31]

Si japelle H ton espace, à un vecteur x de H j'associe l'application u (x) définie comment u (x)(y)= som(xi.yi) avec y appartenant à H et xi et yi son les coordonnées des vecteur x et y appartenant à H
Je comprend pas la différence avec l'espace R^n

[Obito31]

Oui en effet sa marche je te remercie ben

[Ben314]

Si japelle H ton espace, à un vecteur x de H j'associe l'application u (x) définie comment u (x)(y)= som(xi.yi) avec y appartenant à H et xi et yi son les coordonnées des vecteur x et y appartenant à H

BIS ET REPETA : Les coordonnées dans quelle base ?
Bref, tu prend quoi comme base de l'e.v. H des (a1,a2,a3) tels que a1+a2+a3=0 ?

Et forcément qu tu fait pas de différence avec R^n vu que tu répond absolument pas à la question posée !!!!!

[Obito31]

Je prend la base (-1,1,0) et (-1,0,1)
Mais je comprend pas pk on s'intéresse à la base ? Je peut pas prendre c'est coordonner dans la base canonique ?

[Ben314]

Je prend la base (-1,1,0) et (-1,0,1)

Pourquoi cette base là et pas une autre ?
Rappel : ton truc de la somme des xiyi, il dépend de la base

Mais je comprend pas pk on s'intéresse à la base ? Je peut pas prendre c'est coordonner dans la base canonique ?

On s'intéresse à la base (3em édition) parce que pour appliquer ta formule, ben il faut savoir "qui sont" les xi et les yi dont tu parle c'est à dire savoir dans quelle base on prend les coordonnées.
Et la question (de nouveau 3em édition), c'est justement de savoir si un e.v. tel que le H que je t'ai donné avait ou pas une base "canonique".
Bref, la base que tu propose (-1,1,0) et (-1,0,1), qu'est ce qui te permet de dire qu'elle est "canonique" ?
Elle a quoi de "plus canonique" que par exemple la base (1,0,-1) ; (0,1,-1) ou n'importe quelle autre base ?

Rappel : Dans ton bouquin de cours ou autre, à "base canonique", ben il y a uniquement et exclusivement une définition de ce qu'est la "base canonique" de R^n (et éventuellement de R[X]) et surement pas de ce qu'est la "base canonique" d'un espace vectoriel E quelconque.
Donc c'est à toi de m'expliquer comment tu fait dans le cas d'un espace E quelconque (donc par exemple le H que je te donne) pour savoir parmi toutes les bases qu'il possède laquelle est "canonique".
Et évidement il faut un très bon argument concernant le choix vu qu'il faut absolument que tout les matheux de la planète prennent cette même base comme "référence" (c'est l'essence même du mot "canonique").
Si chacun prend sa petite base dans son coin, alors personne n'aura le même isomorphisme entre E et E* donc il n'y aura pas du tout d'isomorphisme "canonique".

[Obito31]

Au faite ce que j'ai dut mal à comprendre c'est que par exemple le vecteur (-2,1,1) appartient à H et donc je lui applique u et sa me donne u (x) et je reprend un autre vecteur de H par exemple (1,0,-1) et je fait u (x)(y)= -3..
quand je disait que les vecteur de H je l'ai exprime dans la base canonique je parler de la exprimer dans (1,0,0) (0.1.0) (0.0.1) pas dans une base canonique de H
Sinon j'ai compris l'idée de canonique oui en effet il n'y a pas de base qui "sort" du lot dans H elle se valent toute

Je sait pas si tu vois ce que j'ai pas compris pourrai tu essayer de bien m'expliquer stp

Je doit mal comprendre le sens de base et de vecteur par exemple pour une application bilineaire sur R2 définie comme sa : f (x,y)=2x1.y1 + x2.y2
La les xi yi sont c'est coordonner dans la base canonique

[Ben314]

Le problème, c'est que (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0;0;1) c'est pas du tout une base de H vu que déjà y'a 3 éléments et pas 2 et qu'en plus ils ne sont même pas dans H.
Ensuite, si on te donne une forme bilinéaire sur H (donc une application de H dans H*) il est dans certain cas possible que tu puisse "naturellement" l'étendre à R^3 tout entier de façon à utiliser la base canonique de R^3, mais évidement ce n'est pas toujours possible.
Par exemple, si on prend l'unique forme bilinéaire symétrique B sur H telle que B((1,-1,0),(0,1,-1))=1 ; B((2,-1,-1),(2,-1,-1))=0 et B((-1,2,-1),(-1,-1,2)=1, peut tu me dire comment tu l'écrit en terme de xi et de yi ?

Et ta dernière phrase, je vois pas où est située la question, mais de toute façon, vu que tu te place sur un e.v. R^n où il existe une notion de bas canonique, y'a pas de problème concernant le fait de savoir qui sont "naturellement" les xi et les yi dans un tel cas.

[Obito31]

Je pense avoir compris au faite par linéarité il suffit de connaître une base de l'espace pour trouver l'image de tout vecteur de l'espace et dans l'espace H il n'y a pas de base canonique, de base qui sort du lot donc il peut pas y avoir une appliaction canonique

Par contre je bloque sur ton exo
Si je prend x=x1.e1+x2.e2 et y=y1.e1+y2.e2 avec (e1,e2) une base de H et que j'applique B sa me donne B (x,y)= x1.y1.B(e1,e2) + x1.y2.B (e1,e2) + x2.y1.B (e2,e1) + x2.y2.B (e2,e2) avec les xi et yi son les coordonnées de x,y dans la base e1, e2 de H
Mais après je bloque