Irréductibilité dans K[X,Y,Z]. Besoin d'aide

par **marie49** » 23 Nov 2007, 19:09

Bonjour a tous
J'ai un petit souci en algèbre! (je déteste l'algèbre :--: )

Je dois montrer que

est un élèment irréductible de

, où K est un corps.

J'ai une indication du prof : Ecrire

et noter que P est primitif dans A[X] et que Z est premier dans A

Voila ce que j'ai fait pour l'instant :

est un corps, donc A est factoriel

dans

avec

et

Donc P est primitif dans A[X]

Ensuite j'ai dit que

et Q=Z est irréductible dans

car c'est un polynôme de degré 1. Et irréductible équivaut à premier dans un anneau factoriel.

Bon, je suis pas trop sûre de moi, je suis vraiment nulle dans cette matière

Mais je vois pas en quoi ca nous permet de dire que P est irréductible dans

.
Les polynômes irréductibles dans

sont les polynomes primitifs de

et irréductibles dans

(car c'est un corps). C'est bien ca? Donc la P est primitif dans

mais pourquoi il est irréductible? :briques:
C'est peut être une question bête mais je ne vois pas le rapport avec le fait que Z soit premier (irréductible) dans A.

J'espère que vous pourrez m'éclairer
Merci d'avance

par **ThSQ** » 23 Nov 2007, 20:27

marie49 a écrit: est un corps

je peux pas t'aider (mais j'adore l'algèbre moi :zen:) mais je trouve ça surprenant que K[X,Y] soit un corps !

par **marie49** » 23 Nov 2007, 20:28

heu... ben alors c'en est peut être pas un. il me semblait mais bon je dis peut être des grosses bêtises!

par **ThSQ** » 23 Nov 2007, 20:30

marie49 a écrit:heu... ben alors c'en est peut être pas un. il me semblait mais bon je dis peut être des grosses bêtises!

Quel est l'inverse de X dans K[X,Y] ?

par **marie49** » 23 Nov 2007, 20:34

lol, oui tu as raison ce n'est pas un corps! :marteau:
ce que je voulais écrire dans mon premier message c'est : K est un corps, donc K est factoriel, donc K[X,Y] est factoriel!
merci! ca illustre le fait que je suis nulle en algebre!

par **ThSQ** » 23 Nov 2007, 21:13

Une tentative quand même ....

Dans K[Y,Z] P est irréductible (il suffit d'écrire P = Q*R et de regarder les degrés et les coeff).

Donc si P n'est pas irréductible : P = (Q = Polynome avec du X = a*X^3 + Q') x (R = Polynome sans X)

Z est premier donc il est forcément dans R (pour avoir XZ) mais alors on a forcément du Z*X^3 contradiction.

par **marie49** » 23 Nov 2007, 21:48

Le souci c'est que je suis tellement nulle en algèbre que je peux même pas te dire si ce que tu as écrit est bon ou pas! :cry:
J'ai un niveau vraiment désespérant en algèbre! En fait ca fait 3 ans de suite que j'ai le même prof et je dois faire un blocage parce que je comprend rien à ses cours. :hum:

Mais mon prof a dit qu'il voulait qu'on fasse cet exercice avec l'indication qu'il nous a donnés. Est-ce que tu penses que ce que j'ai mis pour l'instant est bon ou pas?

par **ThSQ** » 23 Nov 2007, 22:46

marie49 a écrit:Est-ce que tu penses que ce que j'ai mis pour l'instant est bon ou pas?

Mis à part le "détail" sur A[X,Y] qui n'est pas un corps (vaut mieux éviter ce genre de blague en contrôle je crois

) j'ai l'impression que tes arguments sont proches des miens (ce qui ne prouve pas qu'ils sont bons !!).

par **yos** » 23 Nov 2007, 23:01

marie49 a écrit:Les polynômes irréductibles dans sont les polynomes primitifs de et irréductibles dans (car c'est un corps). C'est bien ca?

Bonjour.

C'est le point clé.
Toi tu dis deux fois la même chose. Le résultat que tu veux utiliser est sûrement celui-ci :
Les polynômes irréductibles dans

sont les polynomes primitifs de

qui sont irréductibles dans

où F désigne le corps des fractions de A.
Ca veut dire que tu peux considérer

comme un polynôme en

avec des coefficients dans le corps

qui sont

, et

. Bref tu peux raisonner comme pour les polynômes à une variable avec coefs dans un corps. Et tu retombes sur l'idée de Thsq : tu écris P=QR avec Q de degré 2 et R de degré 1 :

et

. Les coefs a,b,c sont des polynômes en Y,Z (qu'on peut voir comme des fractions rationnelles en Y, Z , c'est-à-dire des éléments de F).
Tu trouve des conditions sur a,b,c et tu verras que la primalité de Z est utile.

par **marie49** » 24 Nov 2007, 11:57

J'obtiens en identifiant que :
a+c=0
ac+b=YZ (donc -c²+b=YZ)
bc=Y²Z

Si deg c=2 et deg b=1 ca ne marche pas car deg c²=4 et le monôme de degré 4 dans c ne s'annulera pas avec b donc on ne peut pas avoir la 2ème égalité.
Si deg b=2 et deg c=1 alors soit b=Y² et c=Z, soit b=YZ et c=Y, mais dans les deux cas ca ne satisfait pas la 2ème condition.

Donc on ne peut pas avoir de décomposition de P en 2 polynômes irréductibles.

Bon, je suis sûre que c'est faux parce que j'ai pas utilisé le fait que Z est premier, et je vois pas où l'utiliser. En fait je comprend pas comment faire. :marteau:

par **yos** » 24 Nov 2007, 12:08

marie49 a écrit:Si deg b=2 et deg c=1 alors soit b=Y² et c=Z, soitb=YZ et c=Y.

C'est juste mais selon toi pourquoi n'y-a-t-il pas d'autre décomposition possible pour Y²Z ?

par **marie49** » 24 Nov 2007, 12:21

ah oui, parce que Z est premier, non? Et aussi parce que Y est premier, donc on peut pas les decomposer.
En fait ce qui me perturbe c'est que là je sais pas si je fais mon raisonnement dans F[X] ou dans A[X]... Quelle est la différence? C'est peut être une question stupide mais pour moi ce raisonnement est le même dans A[X] ou F[X]...

par **marie49** » 24 Nov 2007, 20:50

Un petit up parce que je vois toujours pas! Si quelqu'un peut m'expliquer...

par **yos** » 24 Nov 2007, 22:06

Oui c'est pareil d'après le théorème évoqué plus haut. L'hypothèse clé de ce théorème doit être que A est factoriel.

Le cas typique est celui de

: si un polynôme à coefs entiers est irréductible sur Z, il l'est aussi sur

C'est pareil avec A et F.

par **marie49** » 24 Nov 2007, 22:12

Merci beaucoup pour ton aide! J'y vois plus clair maintenant! :we:
Merci à toi aussi ThSQ!

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