Irrationnel

[mehdi-128]

Bonjour,

Comment montrer que est irrationnel ?

On sait que est irrationnel car 2 n'est pas un carré parfait...

[FLBP]

Salut,
Ce nombre est même transcendant, mais pour démontrer l'irrationalité de ce cas, tu peux utiliser le Théorème de Gelfond-Schneider.

[mehdi-128]

Merci !

C'est la seule façon de faire ?

[pascal16]

rien n'est évident

=2 est rationnel

[mehdi-128]

rien n'est évident

=2 est rationnel

Oui et ça m'aide en quoi dans mon problème ?

[FLBP]

En rien, mais cela permet de démontrer qu'un irrationnel élevé à une puissance irrationnel peut-être rationnel, sans savoir la rationalité de

[mehdi-128]

Je bloque sur un exercice sur l’irrationalité :

Montrer que est irrationnel.

Je suppose par l'absurde (comme dans les démos du cours) que ce nombre est rationnel, alors il existe a entier relatif et b entier relatif non nul tel que :



Mais après je sais pas quoi faire.

[Ben314]

Salut,
Trouve un polynôme à coeff. entiers ayant ton nombre comme racine puis montre que le polynôme en question n'a pas de racines rationnelles en utilisant (après l'avoir démontré) le fait que, si (irréductible) est racine de (à coeff. entier) alors divise et divise .

[mehdi-128]

C'est possible sans utiliser les polynômes ?
Je suis au chapitre 2 d'Analyse MPSI (corps des réels) et j'ai pas encore étudié le chapitre sur les polynômes.

[aviateur]

Bonjour
Oui on peut, mais un polynôme tout de même....
Sinon je te propose: si est un rationnel
alors
On simplifie puis on élève encore au carré et on retombe en territoire connu.

[mehdi-128]

D'accord

J'obtiens :

En mettant tout au carré j'obtiens :



Je dois remplacer r par car là je vois rien

[aviateur]

Non, tu exprimes racine de 5 en fonction de r. Donc racine de 5 est un rationnel..

[mehdi-128]

Vous avez raison c'est plus rapide !

Je trouve : (on peut diviser par r car r est non nul)



Or, la somme de nombres rationnels est un nombre rationnel donc serait rationnel ce qui est faux puisque 5 n'est pas un carré parfait ! Contradiction.

[aviateur]

Oui en fait tu pouvais remplacer r par a/b.
Sinon, si tu réfléchis bien, cette dernière relation élevée au carré te donne un polynôme à coefficients entiers
dont r est une racine.
C'est à dire que même si tu n'a pas étudié les polynômes on sait tout de même un peu ce que c'est.

[mehdi-128]

La suite :

Montrer que est irrationnel.

J'ai écrit :

Là je sais qu'il faut utiliser la décomposition en facteur premiers qui est unique mais j'ai jamais trop compris cette méthode

[mehdi-128]

Oui en fait tu pouvais remplacer r par a/b.
Sinon, si tu réfléchis bien, cette dernière relation élevée au carré te donne un polynôme à coefficients entiers
dont r est une racine.
C'est à dire que même si tu n'a pas étudié les polynômes on sait tout de même un peu ce que c'est.

r est racine alors qu'il y a des 1/r et des ?

[aviateur]

Tu as avec a et b premiers entre eux.
2 divise mais comme 2 et 3 sont premiers entre eux alors 2 divise b^2 donc 2 divise b et ne divise pas a. Alors
à gauche l'exposant de 2 est 1 dans la décomposition en produit de facteurs premier
à droite l'exposant de 2 est pair
par unicité de la décomposition en facteurs premiers on a une contradiction.

[Mimosa]

Bonjour
… à condition d'avoir précisé que l'on prend a/b irréductible!

[aviateur]

Oui mais je l'ai précisé. Oui mais je crois qu'il y télescopage!!

[aviateur]

r est racine alors qu'il y a des 1/r et des ?

Pas de problème s'il y a des dénominateurs tu t'en débarasses

a/b=c/d ça devient ad-bc=0