E est irrationnel

[muse]

Bonsoir tout le monde

voila j'ai un exo et je ne me souvient plus trop comment on fait :

soit Un = 1 + 1/1! +1/2! + ... +1/n!
et Vn= Un = 1/(nn!)

On nous dit que ces suite convergent toutes deux vers e. il faut demontrer que e est irationnel

Pour cela j'ai commencer par l'absurde.

Supossons que e=p/q avec p un entier naturel et q aussi different de 0

donc Un

et la je ne sais aps trop quoi faire j'ai changer Un et Vn par leur valeur et j'ai tout multiplier par q mais en vain

Je me souvient lors de la correction ( j'ai perdu ma correction ) que a la fin on devait obtenir :
N

merci tout le monde :)

[cecy3]

:we: réfléchi c'est tout bête !!!
alors on reprend k'a tu fé juste k'a présent??

[muse]

j'ai demontrer que Un et Vn sont adjacente donc leur limite e est comprise entre Un et Vn


1 + 1/1! +1/2! + ... +1/n! < e <1 + 1/1! +1/2! + ... +1/n! + 1/(nn!)


voila ce que j'ai c'est tout :(

donc moi je partirai dans la dem par l'absurde en suposant e = p/q et je dirai :

1 + 1/1! +1/2! + ... +1/n! < p/q <1 + 1/1! +1/2! + ... +1/n! + 1/(nn!)

donc


q + q/1! +q/2! + ... +q/n! < p
et la je ne sais plus trop quoi faire ;(

[Zebulon]

Bonsoir,
commence par montrer que et sont adjacentes.
Ensuite, montre qu'il existe une suite d'entiers naturels telle que pour ,
.
Déduis-en que e est irrationnel.

[muse]

heu la je comprend encore moin :( je ne vois deja pas comment deduire de ton inégalité que e est irrationel

[Zebulon]

Si tu montres que

il existe une suite d'entiers naturels telle que pour ,
.

il suffit de supposer que et alors on aurait
et ce pour tout n non nul, donc pour n=q, et en multipliant par q.q!, on a ...