Démontrer qu'un nombre est irrationnel

[StupideMoi]

Bonjour a tous :we:!!
Ceci est mon premier message ici !!
J'ai essayé de faire l'exercice suivant:

Démontrer que (racine n-ième de p) n'est pas rationnel (p étant premier et n>1).

J'ai utilisé la même manière concernant (racine de 2), mais ça ne marche pas .
Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider à résoudre cet exercice, ou juste de me montrer comment commencer!!
Votre aide sera très utile, et merci d'avance :lol3:!!

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Tu supposes que sqrt{p} est rationnel, donc peut s'écrire k/l, avec k et l premiers entre eux.
Dans ce cas, nous avons p=k²/l² et k²=pl² Donc p|k² or p est premier donc k=pk' et on réécrit alors :
p²k'²=pl² donc nous avons de même p|l²
On peut écrire l=pl' et k=pk'
Or nous avions supposé que k et l sont premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils n'ont d'autres diviseurs commun que 1. p est différent de 1.
Absurde.
Donc sqrt{p} est irrationnel.

[StupideMoi]

Merci pour votre réponse!!
Mais ici ce n'est pas la racine carré, c'est la racine n-ième...

[leon1789]

Merci pour votre réponse!!
Mais ici ce n'est pas la racine carré, c'est la racine n-ième...

oui, mais le raisonnement reste le même : lorsque p est premier, si alors a multiple de p (car ), puis b multiple de p (car )...

[StupideMoi]

J'ai utilisé cette manière, j'ai trouvé que a est multiple de p mais b multiple de p(à la puissance n-1), est-ce que c'est juste?

[leon1789]

J'ai utilisé cette manière, j'ai trouvé que a est multiple de p mais b multiple de p(à la puissance n-1), est-ce que c'est juste?

oui, c'est correct.

[leon1789]

J'ai utilisé cette manière, j'ai trouvé que a est multiple de p

oui, c'est correct

mais b multiple de p(à la puissance n-1), est-ce que c'est juste?

non, c'est faux.
à quelle égalité entre a,b,p arrives-tu ?

[StupideMoi]

Désolé pour la réponse tardive.

Voici ma correction:
a(à la puissance n)=b(à la puissance n).p ...(*)
Alors a est divisible par p, donc il peut s'écrire sous la forme:
a=p.k /k appartient à Z
D'ou: a(à la puissance n)=p(à la puissance n).k(à la puissance n)
D'après la relation (*):
p(à la puissance n).k(à la puissance n)=b(à la puissance n).p
p(à la puissance n-1).k(à la puissance n)=b(à la puissance n)

Je pense que j'ai fait une erreur ici, mais je ne sais pas où :triste:...
pouvez-vous s'il vous plaît l'indiquer pour moi? et merci beaucoup!!

[leon1789]

Désolé pour la réponse tardive.

Voici ma correction:
a(à la puissance n)=b(à la puissance n).p ...(*)
Alors a est divisible par p, donc il peut s'écrire sous la forme:
a=p.k /k appartient à Z
D'ou: a(à la puissance n)=p(à la puissance n).k(à la puissance n)
D'après la relation (*):
p(à la puissance n).k(à la puissance n)=b(à la puissance n).p
p(à la puissance n-1).k(à la puissance n)=b(à la puissance n)

ok !
Comme , on voit que p divise , donc p divise .
Mais p est premier, donc...

[StupideMoi]

Donc l'hypothèse: (racine n-ième de p) est rationnel est fausse, c'est-à-dire que (racine n-ième de p) est irrationnel.
Je ne peux pas vous remercier assez :+++: !!
Je ne savais pas que c'était si facile, parce que j'ai vu autres solutions, mais ils étaient difficiles à comprendre :doh:!!