Inverse d'une matrice

[othoo]

bonjour, comment peut on montrer que l'inverse d'une matrice triangulaire
supérieur et aussi triangulaire supérieur merci d'avance

[sandrine_guillerme]

Salut

C'est trivial

tu pose une matrice triangulaire supérieur avec des variable muette a, b, c d ... tu la multiplis par une matrice (en respectant la multiplication matricielle ) le résultat est la matrice idedentité ( A X A' = Id) donc A' c'est la matrice inverse,
ensuite tu n'as pas besoin de résoudre tout le système mais tu n'as qu'a remarquer que les terme nul sera dans la meme place que dans la matrice du départ , D'ou le résultat souhaité ..

Sans garentir que ça soit la méthode la plus simple .. je sais qu'il y a mieux avec les bases .. mais j'ai pas le temps de la faire ..
A+

[othoo]

bonsoir, j'ai démontré que Ei=vect(e1,.....,ei) pour tout i appartenant à 1,n est stable par f l'endomormphisme associé à A(matrice triangulaire supérieur),
c'est à dire que f(Ei)est inclus dans Ei pour tout i appartenant à 1,n
ensuite j'ai montré que A est inversible est équivalent à f(Ei)=Ei pour tout i
dans 1,n le probléme est que je ne vois pas comment démotrer que l'inverse de A
est aussi une matrice triangulaire supérieur merci d'avance

[yos]

f(Ei)=Ei donc donc , donc E_i est stable par ...

[abcd22]

Bonsoir,
On peut aussi utiliser une propriété plus générale : si A est une k-algèbre et B une sous-algèbre de A de dimension finie sur k, tout élément de B inversible dans A a son inverse dans B. En effet si est inversible dans A, on considère l'application linéaire , c'est une injection car b est inversible dans A, comme B est de dimension finie c'est une surjection, en particulier 1 est dans l'image...