L'intervalle (0,1) fermé est compact

[Zapata]

Salut les gars,
comment montrez-vous que l'espace (0,1) fermé muni de la distance usuelle est compact en utilisant uniquement la définition de compacité, à savoir qu'un espace topologique X est compact si de tout recouvrement de X par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini ?
Merci !

[Joker62]

On le fait par l'absurde en construisant des suites d'intervalles il me semble

[Zapata]

Bon j'essaie et j'en suis là :

Les ouverts, puisque la topologie est celle associée à la distance usuelle, sont des unions quelconques d'intervalles du type ]a,b[ ou [0,c[ ou ]d,1] ou bien sur [0,1] avec 0‹a;)b‹1.
Donc le recouvrement quelconque doit comprendre des ouverts du type [0,c[ et ]d,1]. De deux choses l'une, soit ça recouvre X (et le problème est réglé), soit ça ne le recouvre pas. Auquel cas [c,d] doit être recouverts par des ouverts de X... je bloque !

Le problème ici est de montrer que si on a un "pseudo-recouvrement" de [c,d] par une infinité d'ouverts de X de plus en plus petits dont on ne peut extraire un sous-recouvrement fini, le "pseudo-recouvrement" n'est pas un recouvrement, car il restera toujours un point (c ou d) qui ne sera pas recouvert en tant qu'extrémité de limite d'intervalles ouverts (un peu comme 0 par rapport à ]1/n,1]).

Si quelqu'un peut m'aider à conclure... :++:

[Zapata]

Beuh ??? Vous ne trouvez pas ça intéressant ? "petit smiley qui se gratte la tête !"

[alben]

Bonjour,
C'est vraiment un classique.
A partir d'un recouvrement R de [0,1], on appelle m la borne supérieure telle que [0,x[ puisse être recouvert par un nombre fini d'ouverts de R.
Si x n'est pas égal à 1, on peut trouver un ouvert de R contenant x qui, rajouté aux ouverts recouvrant [0,x[, va constituer un nouveau recouvrement fini et aller au delà de x-> contradiction. Donc x=1.