Intersection de compacts

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Guigui1Pierre
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intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 07 Avr 2021, 12:51

Bonjour,
L'intersection des éléments d'une famille de compacts indexée par IN est un compact.
Je voudrais aussi le démontrer dans le cas plus général d'un ensemble infini I au lieu de IN.



GaBuZoMeu
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Re: intersection de compacts

par GaBuZoMeu » 07 Avr 2021, 13:00

Bonjour,

Quelle difficulté vois-tu pour passer de à un ensemble quelconque (j'imagine que ça dépend de la façon dont tu l'as démontré pour une famille de compacts indexée par ).

Guigui1Pierre
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Re: intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 07 Avr 2021, 13:35

J'ai commencé par le montrer pour deux compacts (j'ai eu besoin pour ça d'utiliser le thrm qui dit que tout compact est fermé et de la caractérisation séquentielle d'un fermé).
Puis pour IN avec une récurrence.

hdci
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Re: intersection de compacts

par hdci » 07 Avr 2021, 14:11

Guigui1Pierre a écrit:Puis pour IN avec une récurrence.


Euh, par récurrence, cela montre que c'est vrai pour tout entier n, mais chaque entier n est fini, donc vous avez démontré que c'est vrai pour toute intersection finie de n compacts.

Cela ne montre pas que c'est vrai pour une intersection dénombrable.

Contre-exemple (dans un autre registre) : toute partie An de n éléments de IN est majorée.
Par récurrence : vrai pour n=1 car alors A1={x} est majoré par x+1
Supposons que ce soit vrai au rang n, soit y dans A(n+1), soit An égal à A(n+1) moins l'élément y : par hypothèse An est majoré par un certain z ; si y<z alors A(n+1) est majoré par z, sinon il l'est par z+1.

Est-ce que cela signifie que IN est majoré ?
Modifié en dernier par hdci le 07 Avr 2021, 16:25, modifié 1 fois.
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Guigui1Pierre
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Re: intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 07 Avr 2021, 15:28

ah oui effectivement...

Guigui1Pierre
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Re: intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 07 Avr 2021, 15:43

D'accord j'ai trouvé. J'avais pas besoin de faire de récurrence. Juste utiliser le fait que tout compact est fermé et la caractérisation séquentielle d'un fermé.

Par contre, si j'obtenais le résultat pour I = IN , comment le généraliser à un ensemble I infini quelconque?

hdci
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Re: intersection de compacts

par hdci » 07 Avr 2021, 16:29

Avez-vous la propriété "tout fermé d'un compact est compact" ?
Car ensuite "l'intersection quelconque de fermés est un fermé" (puisque complémentaire d'une réunion quelconque d'ouverts)

Sinon de façon générale, on ne peut pas passer d'un ensemble d'indices dénombrable à un ensemble d'indices quelconques, les infinis étant différents. Certaines propriétés sont vraies sur des familles dénombrables mais ne le sont plus pour des familles non dénombrables.

Certaines propriétés peuvent se démontrer par ce qu'on appelle une "récurrence transfinie" : c'est basé sur les ordinaux (les ordinaux finis étant les entiers naturels, le premier ordinal infini étant IN) mais c'est une autre histoire
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Guigui1Pierre
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Re: intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 07 Avr 2021, 16:53

Oui j'ai aussi ce théorème.
Apparemment, le théorème "toute réunion finie ou intersection quelconque de compacts est compacte" nécessite pour être démontré d'avoir un des ces deux thrms: "tout compact est fermé" ou "tout fermé d'un compact est compact".
Mais mon livre Hprépa présente le thrm sur les réunions et intersections avant ces deux thrms. Ca m'a bien perturbé.

GaBuZoMeu
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Re: intersection de compacts

par GaBuZoMeu » 07 Avr 2021, 17:28

Je ne comprends pas. Si tu utilises la caractérisation séquentielle des fermés (on est dans un espace métrique), il n'y a aucune difficulté à montrer qu'une intersection quelconque de fermés est fermée. Si ?

Guigui1Pierre
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Re: intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 07 Avr 2021, 17:53

Non, pas de souci pour moi avec les fermés. C'est avec les compacts que j'ai eu des difficultés.

GaBuZoMeu
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Re: intersection de compacts

par GaBuZoMeu » 08 Avr 2021, 00:00

Si tu utilises fermé + borné, ça va tout seul alors (pourvu que la famille soit non vide).

Guigui1Pierre
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Re: intersection de compacts

par Guigui1Pierre » 08 Avr 2021, 01:12

je suis en dimension quelconque (j'avais pas précisé, désolé)

GaBuZoMeu
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Re: intersection de compacts

par GaBuZoMeu » 08 Avr 2021, 08:54

Alors tu peux utiliser la caractérisation séparé + de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini, ça va tout seul.

 

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