L'intersection de compacts est non vide

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Zapata
Membre Naturel
Messages: 68
Enregistré le: 09 Nov 2007, 16:28

L'intersection de compacts est non vide

par Zapata » 02 Mai 2008, 13:37

Bonjour à tous,
dans le cadre d'un travail, je dois démontrer ce théorème :
Si (X_n) est une suite d'ensembles compacts non vides décroissante, alors l'intersection des X_n est non vide.

Pour la démonstration, je crois que j'ai l'idée de base : on définit une suite x_n de la sorte : x_n € X_n\X_(n+1) (on suppose la suite d'ensembles strictement décroissante, je règlerai ce petit problème plus tard).
Et on montre que l'intersection des ensembles contient au moins la limite de la suite.

Ça c'est l'idée, elle me parait juste. Reste à prouver que cette suite converge bien (ou qu'une de ses sous-suites converge bien) et que ça converge dans l'intersection.
Sans me donner la solution toute faite, vous auriez une idée pour bétonner tout ça ?

Merci !



ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 06:25

par ffpower » 02 Mai 2008, 13:50

Pas la peine de supposer que x_n n est pas dans X_{n+1}.(x_n) est une suite de X_0 qui est compact donc on peut en extraire une sous suite convergente.La limite est dans tous les X_p car X_p est fermé donc c est fini(en métrique en tout cas)

Zapata
Membre Naturel
Messages: 68
Enregistré le: 09 Nov 2007, 16:28

par Zapata » 02 Mai 2008, 14:27

Oui c'est ça, tu as raison, merci.

J'ai aussi prouvé un autre petit résultat utile dans une autre partie de mon travail (que l'inter est compact), il faut supposer que l'espace X dans lequel tout se passe est de Hausdorff (=espace séparé).

Comme X est de Hausdorff, on a que chaque X_n est fermé.
L'intersection de fermés est un fermé, donc l'inter est fermé.
Mais fermé dans un compact implique compact, donc l'inter est compact. (c'est ça le petit résultat en plus).

Montrons que l'inter n'est pas vide :
Soit x_n une suite telle que x_n € X_n, comme X_0 est compact, il existe une sous-suite convergente.
Comme chaque X_n est compact (et donc fermé dans un Hausdorff) contient la suite à partir d'un rang n_o (< ou =) n, alors la limite de la suite appartient à chaque X_n, et donc à l'inter qui est non vide.

Merci ffpower !

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 28 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite