Interpollation Polynomiale

par **Mikihisa** » 06 Juin 2015, 20:30

Bonjour !

Voilà j'ai un soucis avec la question 2a) de ce sujet :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/AgregInterne/Pb22Juin2011.pdf

Je ne comprend pas très bien où ils veulent en venir avec "En déduire l'existence de ce polynôme" Oo (déduire l'existence de l'unicité ???)

J'ai bien cherché à faire la question d'une autre manière (par exemple avec un déterminant) mais çà ne semble pas évident du tout à calculer (ce n'est pas vraiment un Vandermonde).

Cordialement

par **Mikihisa** » 06 Juin 2015, 22:44

Bon c'était très facile en fait j'ai fini par trouver ....

est une application linéaire, qui est clairement injective donc surjective d'ou l'existence.

par **Mikihisa** » 07 Juin 2015, 01:27

Si quelqu'un lis ce sujet, je suis désespéré pour la question 2c).
Je n'arrive pas à montrer qu'un a effectivement Pn'(xi) =0 :(

par **paquito** » 07 Juin 2015, 07:01

Mikihisa a écrit:Bon c'était très facile en fait j'ai fini par trouver ....

est une application linéaire, qui est clairement injective donc surjective d'ou l'existence.

Attention, en dimension infinie, toute application linéaire injective n'est pas nécessairement bijective!

Ex: de

,

par **paquito** » 07 Juin 2015, 07:04

Mikihisa a écrit:Si quelqu'un lis ce sujet, je suis désespéré pour la question 2c).
Je n'arrive pas à montrer qu'un a effectivement Pn'(xi) =0

Désolé, mais je n'ai pas le courage de faire tout ce problème, vu qu'il ne me plait pas! :mur:

par **Mikihisa** » 07 Juin 2015, 10:51

Oui mais la cest de RN[ X]dans R^2n ^^

par **Mikihisa** » 07 Juin 2015, 12:27

Bon, bah en fait je pouvais chercher encore longtemps l'astuce, il y'en avait aucune.

Il s'agissait simplement d'un gros calcul bourrin de dérivé.

Enfin au moins maintenant je sais que

:mur:

par **paquito** » 07 Juin 2015, 13:34

:lol3:

Mikihisa a écrit:Bon, bah en fait je pouvais chercher encore longtemps l'astuce, il y'en avait aucune.

Il s'agissait simplement d'un gros calcul bourrin de dérivé.

Enfin au moins maintenant je sais que

:lol3: :we: :ptdr: :id: :zen: :hein3: :blah:

par **Ben314** » 08 Juin 2015, 00:29

Mikihisa a écrit:Bon, bah en fait je pouvais chercher encore longtemps l'astuce, il y'en avait aucune.
Il s'agissait simplement d'un gros calcul bourrin de dérivé.
Enfin au moins maintenant je sais que

Salut,
Normalement, on peut s'en sortir "pas trop bourrin" :
Pour tout réel

on a

donc

d'où

et comme les deux membres de l'égalité sont en fait des polynômes, le fait qu'ils soit égaux pour tout x suffisamment grand (donc pour une infinité de x) montre qu'en fait ils sont égaux pour tout réel x.

Sinon, un truc qu'il faut avoir vu au moins une fois, c'est que la généralisation de la règle de dérivation

est

(preuve évidente par récurrence)

Ce qui, écrit de façon théorique, donne

par **Ben314** » 08 Juin 2015, 00:37

Mikihisa a écrit:Bon, bah en fait je pouvais chercher encore longtemps l'astuce, il y'en avait aucune.
Il s'agissait simplement d'un gros calcul bourrin de dérivé.
Enfin au moins maintenant je sais que

Salut,
Normalement, on peut s'en sortir "pas trop bourrin" :
Pour tout réel

on a

donc

d'où

et comme les deux membres de l'égalité sont en fait des polynômes, le fait qu'ils soit égaux pour tout x suffisamment grand (donc pour une infinité de x) montre qu'en fait ils sont égaux pour tout réel x.

Sinon, un truc qu'il faut avoir vu au moins une fois, c'est que la généralisation de la règle de dérivation

est

(preuve évidente par récurrence)

Ce qui, écrit de façon théorique, donne

par **paquito** » 08 Juin 2015, 05:54

Salut,

J'ai quand même lu ton problème. Même si Ben, comme d'habitude a trouvé une démarche élégante, ton problème de toutes façons débouche sur une méthode bourrin (heureusement programme).
Le résultat essentiel de tout ce boulot, c'est de savoir qu'étant donné n points du plans d'abscisse distincte, il existe un unique polynôme de degré n-1 dont le graphe passe par ces n points.
pour n=2, on retrouve la méthode des moindres carrés et faire les calculs à la main,c'est déjà chiant et pour n=3, j'ai fait le calcul une fois pour vérifier que ma calculatrice ne déconnait pas même si, trouver la parabole passant par mes 3 points se traite autrement en deux minutes.
Une simple TI 82 te donne les résultats pour n=2,3 et 4; après, il faut une autre bécane.

Par la suite tu démontrera forcément à démontrer un théorème bien moins bourrin:

Théorème de Stone-Weierstrass: L'ensemble des fonctions polynômes est dense dans l'espace des fonctions continues définies sur un compact. C'est un autre résultat très fort, puisque ça veut dire qu'on peut dans la pratique remplacer sur un compact toute courbe continue par un (ou des) polynôme. Enfin, j'ai le souvenir d'une démonstration très jolie (il y en a plusieurs, bien sûr).

Voila, tout ça pour te dire que tu te casses la tête pour un truc quand même assez fort. :zen:

par **Mikihisa** » 09 Juin 2015, 06:31

Hey salut ! J'ai finalement réussi a terminer ce problème !
Merci a vous tout de même !

par **paquito** » 09 Juin 2015, 06:51

Mikihisa a écrit:Hey salut ! J'ai finalement réussi a terminer ce problème !
Merci a vous tout de même !

Bravo! :ptdr: :zen:

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