Intégration et transformée de Fourier

[MacManus]

Bonjour

Je viens de trouver un exercice d'examen et j'aurais aimé avoir de l'aide pour le résoudre. Il comporte au total 8 questions... je vais donc les mettre au fur et à mesure.

On note l'espace des fonctions continues sur , à valeurs dans et tendant vers 0 en l'infini.
Soit . On suppose que g est impaire et que n'existe pas.

Question 1
Montrer que la fonction (au sens d'une intégrale impropre) est définie et bornée sur

Question 2
On suppose qu'il existe telle que , où F(f) désigne la transformée de Fourier de f. Montrer que f est impaire.
(On pourra raisonner au sens des distributions ou encore montrer que la fonction h(x)=f(x)+f(-x) est identiquement nulle).


[busard_des_roseaux]

Question 1
Montrer que la fonction (au sens d'une intégrale impropre) est définie et bornée sur



est définie (intégrer par parties le sinus, ce qui améliore
la convergence et vérifier le critère de Cauchy )


Elle est continue sur tout compact
l'intégrande admettant un prolongement par continuite en t=0+

Elle tend vers zéro quand x tend vers
comme reste d'une intégrale semi-convergente.
donc bornée.




ce qui risque de donner, par IPP, une transformée dans L1

[MacManus]

Merci pour ta réponse busard_des_roseaux.

Question 3
Montrer que pour tout X>1, on a:


Question 4
Montrer qu'il existe C>0 tel que, pour tout x>0 et X>1, on ait :


Merci pour votre aide

[busard_des_roseaux]

Merci pour ta réponse busard_des_roseaux.

Question 3
Montrer que pour tout X>1, on a:


Question 4
Montrer qu'il existe C>0 tel que, pour tout x>0 et X>1, on ait :


Merci pour votre aide

Bj,

pour la (4), il y a un truc :zen:
on intégre par parties avec v'=sin(u)
mais en choisissant LA primitive ,qui, divisée par u,
admet un prolongement par continuité en u=0+
soit (1-cos(u)), si je ne m'abuse.

pour la (3), il semble déja que ton cours indique quel est l'espace
d'arrivée des transformées de Fourier de (classes de) fonctions L1.
Peut être s'agit-il de fonctions continues, nulles à l'infini.

Comme j'ai étudié ça il y plusieurs dizaines d'années, je m'en souviens plus :marteau: bien.

[MacManus]

Merci beaucoup pour tes indications. Oui il s'agit de la classe des fonctions "tests" , ces fonctions vérifient les propriétés que tu décris je crois.

[MacManus]

Bonjour !

J'aimerais revenir sur ce sujet car, si j'ai réussi à faire les questions 1, 2 et 4 (notamment grâce à l'aide de busard_des_roseaux), la question 3 me pose toujours problème. Je rappelle l'énoncé de l'exercice :

On note l'espace des fonctions continues sur , à valeurs dans et tendant vers 0 en l'infini.
Soit . On suppose que g est impaire et que n'existe pas.

On a montré à la question 1 que la fonction est bien définie et bornée sur .

On a montré à la question 2 que, si f telle que F(f)=g ( F(f) désigne la transformée de Fourier de f ) alors f est impaire.

Question 3

Montrer que pour tout X>1, on a:

Je suis bloqué et je ne sais pas comment montrer cette égalité...merci de bien vouloir m'aider

[MacManus]

quelqu'un peut-il m'aider ? merci d'avance