[mpsi] Intégration, thm de Darboux

[Anonyme]

Salut à tous,

Je bloque sur 2 petites questions, dans 2 exos différents, qui n'ont pas
grand chose à voir :

La 1ere :
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Soit f une fonction continue de R dans R tq : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) et
f(0) = 1. Je dois montrer qu'on peut choisir r > 0 de manière à ce que la
quantité :
int[(0,r) f(y)dy] soit strictement positive.

J'ai montré que comme f(0) la fonction f était paire, il me parait évident
que f sera positive sur [0,r] vu que f(0) = 1 et vu qu'elle est continue.
Est-ce que cela suffit comme preuve ?
(je conclus avec le fait que si f(x ) >= 0 sur [a,b] alors l'intégrale entre
a et b et positive.

Puis je dois en déduire que f est de classe C1 puis Cinf.

2eme question (thm de Darboux)
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Soit I un intervalle ouvert de R et f une fonction dérivable sur I, on note
f '(I) l'image de I par f ' et [a,b] un segment inclus dans b.

On note C(t) l'application définie par :
C(t) = ( f(t) - f(a) ) / (t-a) si t est dans ]a,b[
f '(a) si t = a

Je dois montrer que le segment d'extrémité f '(a), C(b) est inclus dans f
'(I).

Une idée ?

(je le vois bien mais j'arrive pas à l'écrire)

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[Anonyme]

"Vincent SPRIT" a écrit dans le message de
news:4033698f$0$28117$636a15ce@news.free.fr...

> Soit f une fonction continue de R dans R tq : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)
et
> f(0) = 1. Je dois montrer qu'on peut choisir r > 0 de manière à ce que la
> quantité :
> int[(0,r) f(y)dy] soit strictement positive.
>
> J'ai montré que comme f(0) la fonction f était paire, il me parait évident
> que f sera positive sur [0,r] vu que f(0) = 1 et vu qu'elle est continue.
> Est-ce que cela suffit comme preuve ?

Non, ça ne suffit pas ! tu as à peu près l'idée mais il faut que tu
l'exprime
rigoureusement :

f(0) = 1, donc d'apres la définition de la continuité, pour epsilon = 1/2
(par ex)
tu as un intervalle [-r,r] avec r>0 sur lequel | f(0) - 1 | 1 - 1/2 = 1/2.

En particulier, int(0...r, f(y)dy) >= int(0..r, 1/2) = r/2 > 0