Intégration par parties arcsin^2

[Cubiste]

Bonjour,

Je dois calculer l'intégrale entre 0 et 1 de arcsin^2(x)dx.
Je sais qu'il faut faire deux intégrations par parties mais je ne comprends pas comment aboutir à un résultat final correct car, pour utiliser le théorème d'intégration par partie, il faut que arcsin^2 soit de classe C^1 sur l'intervalle [0,1].
Or, arcsin^2 est dérivable entre ]-1,1[.

Pourriez vous m'aider?
Merci

[Ben314]

Salut,
Le coup du "pas C^1 sur [0,1]", tu t'en fout un peu : il suffit de faire le calcul sur l'intervalle [0,a] avec a<1 fixé puis, à la fin, de faire tendre a vers 1.

[Cubiste]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse. Effecivement c'est pas complétement idiot comme idée..

Bonne soirée.

[Ben314]

Sinon, ça me semblerais quand même plus simple de commencer par faire le changement de variable x=sin(t) pour calculer ton intégrale.

[Black Jack]

Bonjour,

Pourquoi ?
On passera quand même par une double intégration par partie, me semble-t-il.

Bien sûr, on aura en cours de route des dérivées un poil plus simples, mais on aura du changer de variable et au final soit revenir à la variable d'origine, soit modifier les bornes d'intégration.

Si on fait l'exercice par les 2 méthodes ... la première (sans changement de variable initial) est plus rapide.

Mais ce n'est que mon avis.

[Ben314]

Perso, quand j'ai à intégrer un truc du style où est un polynôme, je trouve une primitive en procédant par "combinaison" (sur le même principe que la méthode de Horner pour factoriser (X-a) dans un polynôme). Par exemple, pour , ça donne ça :




C'est bien évidement exactement la même chose que des I.P.P. en cascade, mais ça va plus vite à écrire.