Integrals generalisé

[Vlad-Drac]

Bonjour !


calculer int de 0 à +inf de ( ln(1+ 1/x²) )dx

j'ai trouver l'integral en fesant un calcul classique (changement de variable + IPP)
pourrait on fair quelque chose en partant comme ceci :

int de 0 à +inf de ( ln(1+ 1/x²) )dx = int de 0 à +inf de ( ln( (x² +1) / x²) )dx =

int de 0 à +inf de ( ln(1+x²) - ln(x²) )dx de meme dans un exercice similaire on fesait l'analogie avec une série de riemann en se ramenan a une integral de la forme 1/n². ici on pense a une série téléscopique ceci mene il quelque part ?

[arnaud32]

ta fonction ,'est pas continue en 0, elle n'y est meme pas definie.
il faut que tu regardes au voisinage de 0 et de +oo ce qui se passe.
tu peux separer par ex en et
et regarder ce qui se passe si a tend vers 0 et c vers +oo

en 0+ ln(1+1/x²)~ln(1/x²)~-2ln(x)
en +oo ln(1+1/x²~)~1/x²

pour ton changement de variable + IPP, tu peux le faire sur un intervalle ferme inclusa dans ]0,+oo[ et faire tendre les bornes vers 0 et +oo apres.

[Vlad-Drac]

k merci, ils c'etaient trompé dans l'ennoncé edited
oui j'ai fait le calcul je voulais juste savoir si il y avait un atre moyen. et sinon pour ce que tu as ecrit sur la convergence. il faut dire que lintegrale 1/x² converge or elle ont la meme nature, et de meme pour l'autre d'apres betrand ?

[Vlad-Drac]

hum je croyait qu'on séparais pour avoir des terme positif pour appliquer un criter dequivalence par exemple :
int de 0 a +oo de 2tlnt/(1+t²)² là on separe de 0 à 1 et de 1 à +oo comme ca de 1 à +inf c'est positif et cest equivalent à 2lnx/x^3 -> bertrand converge apres on etudie entre 0 et 1

mais là pourquoi fair ca ?

[arnaud32]

tu as le choix, soit tu prouves la convergence puis tu fais ton clacul, soit tu fais ton calcul sur un intervalle et tu prouves dan la foulee que la limite existe