Intégrales

[Marguerite2521]

Pour tout réel x > 0, on pose g(x) = de 1 à x cos (t) / t dt
et pour tout réel x 0, f(x) = de x à 3x cos (t) / t dt

1. Etudier la parité de f
2. Montrer que g est définie pour tout x > 0, dérivable et donner la valeur de g'(x)
3. donner une relation simple entre f et g. En déduire que f est définie pour tout x 0, dérivablee t calculer f'(x)
4. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que f(x) admet une limite finie lorsque x tend vers +;)
5/ Calculer la limite quand x tend vers 0, x 0 de h(x) = de x à 3x (cos (t) -1) / t dt. En déduire que f admet une limite quand x tend vers 0



1. Il n'y a aucun problème de définition de la fonction f car t cos (t) /t est continue sur ]0; +;) [
De plus f est de classe C1

x 0, f(-x) = de -x à -3x cos (t) / t dt
Posons t = -z
on a : f(-x) = de x à 3x cos (-z) / z dz
= de x à 3x cos (z) / z dz car cos est paire
Conclusion : f est paire

2. t cos (t) /t est continue sur ]0; +;) [. Donc a fortiori sur [1; x] avec x > 0
Donc de 1 à x cos (t) / t dt existe et est définie sur ]0; +;) [.
Comme produit de fonctions continues, de 1 à x cos (t) / t dt est dérivable

g'(x) = cos (t) / t

Je suis bloquée à la question 3

merci de votre aide !

[capitaine nuggets]

Salut !

Exprime g(3x) et trouve une relation entre f(x), g(x) et g(3x).

:+++:

[Marguerite2521]

Salut !

Exprime g(3x) et trouve une relation entre f(x), g(x) et g(3x).

:+++:

Merci !

g(3x) = f(x)

f est une composée de fonctions dérivables donc f est dérivable.
et quelque soit x différent de 0, f'(x) = 3 cos(x)/x

[capitaine nuggets]

Non, c'est incomplet :

Exprime g(3x) et trouve une relation entre f(x), g(x) et g(3x).

f(x)=g(3x)-g(x).

:we:

[Marguerite2521]

Non, c'est incomplet :

f(x)=g(3x)-g(x).

:we:

ah oui je me suis trompée.

on a donc alors f'(x) = (g(3x))' - g'(x)
= 3 cos (3x)/3x - cos (x)/x
= (cos (3x) - cox (x))/x

[mathelot]

ah oui je me suis trompée.

on a donc alors f'(x) = (g(3x))' - g'(x)
= 3 cos (3x)/3x - cos (x)/x
= (cos (3x) - cox (x))/x

ne pas utiliser la notation (g(3x))'