Intégrale triple/ changement de variables avec le jacobien

[endomorphisme]

Bonjour à tous,

Ça fait maintenant un petit bout de temps que je butte sur cet exercice, et je ne vois pas trop comment m'en sortir...

L'énoncé est le suivant :

Calculer sur

La première équation est une boule centrée en l'origine et de rayon a, la seconde un cylindre centré en (a/2, 0,0) et de rayon a/2. D est donc un cylindre "enfermé" dans une boule. J'ai réussi à dessiner l'ensemble et pense bien voir que quoi il s'agit, mais je bloque pour calculer l'intégrale.

Pour faire cela, j'ai d'abord pensé à un changement de variables en coordonnées sphériques, comme nous l'avons déjà fait en TD. Sauf que je me retrouve avec une équation assez compliquée pour la deuxième condition sur l'ensemble (cylindre). J'ai également tenté le passage en coordonnées cylindriques, mais là le problème se pose pour la première équation...

Si certains d'ente vous pouvaient m'aider, au moins pour trouver le bon changement de variables à effectuer, ce serait sympa

Voilà, merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
Perso, j'aurais tendance effectivement à passer en sphérique :

Ton domaine devient :
La deuxième équation donnant en fait
Et dans l'intégrale, tu fera "sauter" l'arcosinus à l'aide par exemple d'une i.p.p.

L'autre option, c'est de passer en cylindrique, mais en centrant le repère en (a/2,0,0) pour que la deuxième équation soit simple et tu devrait obtenir du z compris entre tant et tant pour x=a/2+r.cos(theta) et y=r.sin(theta) donnés. Ca risque d'être plus simple (à voir...)

Troisième option : pour z fixé, la "coupe" suivant z, c'est l'intersection de deux disques, le centre du deuxième étant situé au bord du premier. Je sais pas si l'aire se calcule pas (relativement) simplement. . .

P.S. : sinon, tu peut chercher sur le net à "fenêtre de Viviani" qui est le nom de la courbe intersection de la sphère et du cylindre (creux) pour voir si tu trouve des astuce pour paramétrer....

[Pythales]

Tu peux utiliser le paramétrage :



Pour la demi intégrale, varie de 0 à , varie de 0 à et de 0 à