Integrale et théorème de la moyenne

[buzard]

Bonjour,

J'ai un soucis avec une inégalité de la moyenne. Alors mon problème est de montrer que la seule fonction (si c'est vrai) qui vérifie :



est la fonction identiquement nulle. Le théorème de la moyenne dit que :



Comment peut on montrer que c<1?

Si ce que je veux montrer est faux, est-ce que quelqu'un connais un contre exemple.

Merci pour vos indications.

[Doraki]

Tu as essayé avec f(x) = x+1-2ln(2) ?

[buzard]

Ah ben ouai, j'avais pas pensé à regarder du cote des droites :mur: Je cherchais parmi les fonctions d'intégral nulle
merci

[Doraki]

Le théorème de la moyenne marche seulement si f est continue positive si je ne m'abuse.
Si f est positive, comme 1/(2-x)² <= 1, l'intégrale de f(x)/(2-x)²dx <= l'intégrale de f(x)*1dx.
Si il y a égalité, c'est que f est non nulle seulement quand 1/(2-x)² = 1, c'est-à-dire en 1. Donc f est nulle.

Evidemment, si f est négative, c'est pareil mais à l'envers :
tu as forcément intégrale de f(x)/(2-x)² >= intégrale de f(x)*1

Et quand on fait bouger une fonction entre ces deux cas de figures, il va y avoir un moment où les intégrales vont être les mêmes. Donc j'ai cherché f(x) = x+a avec a entre -1 et 0...

[buzard]

D'accord, j'avais compris la méthode en traçant les graphiques.

mais je commence vraiment à rouiller, l'ensemble que je cherchais c'est simplement l'hyperplan orthogonal à la fonction , dans l'espace des fonctions munis du produit scalaire ).

Hyperplan qui n'est évidement pas réduite à {0}