Intégrale sur un contour

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maths456
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Intégrale sur un contour

par maths456 » 13 Déc 2017, 05:24

Bonjour,
J'ai un exercice à faire mais je ne sais pas du tout comment démarrer.
Voici l'énoncé:

Soit

Calculez:
où C est le contour |z| = 1 traversé positivement.

Merci beaucoup pour votre aide.



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Ben314
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Re: Intégrale sur un contour

par Ben314 » 13 Déc 2017, 09:52

Salut,
Ca veut dire quoi qu'un contour est "traversé positivement" ?
Sinon, si ce que tu doit calculer, c'est l'intégrale de ta fonction holomorphe sur le cercle trigo. parcouru dans le sens direct, c'est une application directe et immédiate du théorème des résidus.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

maths456
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Re: Intégrale sur un contour

par maths456 » 13 Déc 2017, 19:02

Merci beaucoup pour votre réponse.
Donc nous avons z = 0 comme pôle double qui est dans |z| = 1.
Donc
avec
On a
Mais comment calcule-t-on cette limite ?
A-t-on donc et donc

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Ben314
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Re: Intégrale sur un contour

par Ben314 » 13 Déc 2017, 20:24

Forcément, si quand on te dit "résidu", le premier truc que tu pense à écrire c'est en terme de limite d'un truc, ben tu risque souvent de pas arriver à grand chose...

Rappel : la définition du résidu de f en a, c'est le coefficient en 1/(z-a) dans le développement en série de Laurent de f au voisinage de a. (Et, évidement (et comme d'habitude en math), s'il y a un truc à savoir concernant une notion donnée, c'est sa définition.)

Bref, si je disait que c'était une "application immédiate", ben c'est parce que c'est... une application immédiate : on te donne f sous forme de série de Laurent au voisinage de 0, donc pour avoir le résidu en 0 de ,il suffit de dire que c'est le coeff. en de , c'est à dire en fait le coeff. en de qui est en fait le coeff. en de vu que

De plus, dans ce cas de figure où la fonction F dont on cherche le résidu à un développement qui commence en et pas en tu ne risque pas d'obtenir le résidu (c'est à dire le coeff. en ) par un simple calcul de limite vu que lorsque , c'est le coeff en z^{-2} qui va systématiquement l'emporter.
Bref, ta façon de calculer le résidu ne risque pas de marcher dans un cas pareil (et elle ne marchera jamais dans les cas où il y a des termes en avec )
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maths456
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Re: Intégrale sur un contour

par maths456 » 13 Déc 2017, 22:55

Ah oui d'accord. Donc avec la série de Laurent, on a bien que le coeff en z de f(z) est 1/4 donc notre résidu vaut 1/4, ce qui donne que l'intégrale vaut , c'est bien ça ?
Merci beaucoup.

 

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