Intégrale sur un contour

[maths456]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire mais je ne sais pas du tout comment démarrer.
Voici l'énoncé:

Soit

Calculez:
où C est le contour |z| = 1 traversé positivement.

Merci beaucoup pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Ca veut dire quoi qu'un contour est "traversé positivement" ?
Sinon, si ce que tu doit calculer, c'est l'intégrale de ta fonction holomorphe sur le cercle trigo. parcouru dans le sens direct, c'est une application directe et immédiate du théorème des résidus.

[maths456]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Donc nous avons z = 0 comme pôle double qui est dans |z| = 1.
Donc
avec
On a
Mais comment calcule-t-on cette limite ?
A-t-on donc et donc

[Ben314]

Forcément, si quand on te dit "résidu", le premier truc que tu pense à écrire c'est en terme de limite d'un truc, ben tu risque souvent de pas arriver à grand chose...

Rappel : la définition du résidu de f en a, c'est le coefficient en 1/(z-a) dans le développement en série de Laurent de f au voisinage de a. (Et, évidement (et comme d'habitude en math), s'il y a un truc à savoir concernant une notion donnée, c'est sa définition.)

Bref, si je disait que c'était une "application immédiate", ben c'est parce que c'est... une application immédiate : on te donne f sous forme de série de Laurent au voisinage de 0, donc pour avoir le résidu en 0 de ,il suffit de dire que c'est le coeff. en de , c'est à dire en fait le coeff. en de qui est en fait le coeff. en de vu que

De plus, dans ce cas de figure où la fonction F dont on cherche le résidu à un développement qui commence en et pas en tu ne risque pas d'obtenir le résidu (c'est à dire le coeff. en ) par un simple calcul de limite vu que lorsque , c'est le coeff en z^{-2} qui va systématiquement l'emporter.
Bref, ta façon de calculer le résidu ne risque pas de marcher dans un cas pareil (et elle ne marchera jamais dans les cas où il y a des termes en avec )

[maths456]

Ah oui d'accord. Donc avec la série de Laurent, on a bien que le coeff en z de f(z) est 1/4 donc notre résidu vaut 1/4, ce qui donne que l'intégrale vaut , c'est bien ça ?
Merci beaucoup.