Intégrale et résidus

[lisonn]

Bonjour,

Je veux calculer par le théorème des résidus.

Je sais que si R(x,y) est une fraction rationnelle.
où .

Dans mon cas j'ai donc calculé et je trouve un pôle double en et un simple en dans D(0,1).

Je dois calculer les résidus de ces pôles, je sais les calculer avec des formules du genre si h=g/f. Cependant le calcul est horrible à faire...
Est ce la bonne méthode ou y a t-il plus simple?

ps: le résultat devrait être

Edit : j'avais déjà fait des erreurs de calculs dans le calcul de h(x), normalement c'est juste maintenant.

[Pythales]

Petite erreur pour (manque une racine)

[Ben314]

Salut,
Je suppose que tu as "oublié" de nous donner les hypothèses concernant a et b qui t'ammènent à penser qu'exactement une des deux racines de bx²+2ax+b est dans le disque D(0,1), mais ce n'est pas trés grave...
Par contre, ton x2 est faux (il manque une racine).

Pour le calcul des résiduts, la formule que tu donne ne marche que pour x2 vu que la formule ne s'applique qu'à des zéro simple du dénominateur.
Dans un tel cas (zéro simple du du dénominateur), tu peut aussi calculer la limite de (x-x2).h(x) quand x tend vers x2, c'est à peu prés kif-kif.

Pour trouver les les deux résidus, je me demande si tu ne devrait pas commencer la décomposition en élément simples de h, c'est à dire écrire
h(x)=?+?/x+?/x²+(?x+?)/(bx²+2ax+b)
je pense (pas total sûr) que c'est le moins calculatoire

[lisonn]

Ok merci, je vais me lancer dans les calculs alors ou la décomposition en éléments simples.
J'ai effectivement oublié la racine pour et aussi de préciser que 0<b<a.

[lisonn]

Rien à faire je ne trouve pas le résidu de h en , les calculs sont épouvantables. :triste:
J'ai essayé la décomposition et pareil j'ai des calculs compliqués (faut dire que je ne me souviens plus vraiment de la technique de la décomposition)
Si jamais quelqu'un réussit à trouver le bon résultat, qu'il me fasse signe :happy2:

En attendant je me suis lancée dans un autre calcul qui me pose aussi problème:
je dois montrer que :
en intégrant f(z) le long de puis en utilisant le théo des résidus

Je pense qu'il faut d'abord trouver les résidus (et c'est encore ce qui me pose problème): comment faire pour trouver les résidus des poles : simplement?

[Pythales]

L'intégrale vaut
En associant la 2ème à on simplifie un peu les calculs.

[Ben314]

où et sont les racines de .
Le résidut en est donc
Pour mener les calculs à bien, il faut absolument utiliser le fait que et sont racines du polynôme et ne pas y aller en "grosse brute".
En particulier, (produit des racines) qui permet d'écrire que :


Pour le résidut en 0, tu écrit que et tu calcule les deux premiers termes de la division euclidienne de par (dans cet ordre vu qu'on est au vois de 0 et pas de oo)
Tu doit trouver que donc

et le résidut en 0 est

[Ben314]

Comment faire pour trouver les résidus des poles : simplement?

Là, clairement, vu que ce sont des pôles simples la "formule" de ton premier post s'applique super rapidement.

Aprés, fait attention, pour appliquer le théorème des résiduts, il faut intégrer sur un laçet, c'est à dire un chemin qui "revient au point de départ" et ne tenir compte que des résiduts "à l'interieur" du laçet.
Par exemple, ici, tu peut intégrer sur le bord d'une "portion de camembert" de rayon R (que l'on fera tendre vers l'infini) délimité par le demi-axe Ox et son image par une rotation d'angle 2pi/5.
Le lacet est en "trois morceaux" et il faut prendre garde au sens de parcours de chaque morceau...

[lisonn]

Merci beaucoup Ben pour le détail des calculs, il me manquait l'astuce du qui simplifie pas mal les calculs.


Pour la deuxième intégrale, j'avais bien vu qu'il fallait intégrer sur cette portion mais j'ai du mal à démarrer et me pose plusieurs questions :
Le seul pôle qui est dans finalement c'est non?
Sinon, Je ne sais pas comment paramétrer la dernière intégrale.
J'ai pensé à : en paramétrant avec
Ensuite j'ai l'impression que finalement ce qu'on cherche à calculer c'est la première intégrale en faisant tendre R vers l'infini donc les deux autres doivent être nulles (je vois bien que pour la deuxième la fonction dans l'intégrale tend bien vers 0, mais est ce suffisant pour en conclure que l'intégrale elle même tend vers 0?)

Dernière chose :

[Ben314]

Ton lacet, c'est ça (prend l'habitude de faire des dessins...) :

où l'arc de cercle a pour rayon R (que l'on fera tendre vers l'infini à la fin)

Le seul pôle qui est à l'intérieur est bien (à condition évidement que R>1) : dessine les cinq pôles sur le cercle trigo pour le vérifier.
Le résidus en ce point est effectivement

Pour paramétrer le lacet, trois "tronçons" => on ajoute les intégrales suivantes

Sur le premier (en partant de 0) on prend où :


Sur le deuxième tronçon on pourrait prendre où :

mais ce n'est pas utile : en fait, lorsque R tend vers +oo, l'intégrale sur ce tronçon tend vers 0 est c'est plutôt plus simple à montrer si on ne paramétrise pas l'intégrale, c'est à dire si on garde

Sur le troisième tronçon on prend où et on fait attention au sens de parcours :


Arrivé à ce point, il faut que tu prouve propre que tend vers 0 et que tu simplifie pour conclure...

[lisonn]

Je crois que j'y suis :happy2:


Je pose et
donc

Après simplification de j'obtiens :



D'un autre côté par le théorème des résidus, j'ai , il vient donc

Ben314, merci beaucoup! Les choses sont maintenant plus claires pour moi.

[Ben314]

C'est effectivement ça.
Par contre, je comprend pas trop à quoi te sert ton ensemble S1.
Pour moi, gamma_2, il est décrit "par le dessin" et, dans un exo de ce type, c'est largement suffisant.
Pour montrer que tend vers 0, on utilise quasi-systématiquement la majoration :


Pour on a (arc de cercle) et, si et que est sur , alors donc (car )
Ce qui signifie que lorsque .

P.S. Fait aussi un peu attention au notations concernant les objets que l'on manipule :
Pour appliquer la version du théorème des résiduts que tu as, il te faut une partie bornée "gentille" du plan complexe, par exemple ici ton (et on regarde quels sont les poles qui sont dans cette partie) mais ce n'est pas "sur " que l'on intègre (dans le cadre des fonction holomorphe, on intègre le long d'une courbe et pas sur une surface).
En fait, on intègre sur le bord de (parcouru dans le sens trigo) qu'à la rigueur on peut noter