Intégrale paramétrée + paramètre dans les bornes

[acteon]

Bonjour, je cherche cet exercice:
"
Montrer que F est dérivable sur R puis simplifier F(x)".
J'ai essayé:
1) changement de variable u=t/x pour se ramener à [0,1], mais ça donne

ce qui ne donne rien de très facile après dérivation sous le signe somme

2) ipp qui donne ensuite à dériver qui ne me plait pas non plu

3)
ou g(x,t)=0 si t>x et si t<x
mais g n'est pas continue par rapport à x donc pas de théorème de dérivation sous le signe somme

4) F(x)=G(x,x) avec G(x,y) = et règle de la chaine mais cela ne me donne rien non plus

voilà, je ne vois pas trop, si quelqu'un a une idée

Par ailleurs, je recherche des exemples intéressants pour les méthodes 1 et 3, sinon j'essaierai d'en construire artificiellement moi même, quitte à ce que ça soit un peu artificiel

Merci et joyeuses Pâques!

[zygomatique]

salut

déjà il serait bien de dire/justifier que F est définie et continue sur R

on peut même remarquer/prouver que F est impaire F(-x) = -F(x)

ensuite le théorème de dérivation sous le signe somme marche il me semble ....

je ne sais pas pourquoi dans ton 3/ tu passes de la borne x à la borne +oo ?

[Ben314]

Salut,
est de la forme qui, dans les bonnes conditions, se dérive en (pas très dur à montrer).
Ici, ça donne : .
L'intégrale se calcule en décomposant en éléments simple et, après calculs, on obtient :
Or, miraculeusement, une I.p.P. donne ce qui signifie que

[acteon]

Merci pour vos réponses, merci Ben, je n'avais pas poussé assez loin dans cette direction car cet exercice avait été posé en dehors d'un contexte de calcul différentiel, mais merci tu as raison ça marche bien.

Zygomatique merci pour ta remarque, en revanche non le théorème "classique" de dérivation sous le signe somme ne s'applique pas à cause du x dans l'intégrale. Après, il y a la version "avec paramètre dans les bornes" qui est moins classique, que Ben cite, et qui se montre notamment facilement avec des fonctions de plusieurs variables en admettant le théorème classique de dérivation sous le signe somme. (ou alors en revenant à la définition du taux d'accroissement mais c'est plus laborieux).
Enfin, dans mon 3 j'avais remplacé c par +infini justement pour ne pas avoir x à la fois dans les bornes et dans l'intégrande, c'est une méthode qui marche assez bien avec des suites d'intégrales (on finit par convergence dominée), et avec l'intégrale de Lebesgue ça devrait aussi fonctionner (à réfléchir) mais ici avec un point de vue intégrale de Riemann ça ne donne rien.
Merci en tout cas!