Tu n'as pas saisi ce que j'ai mis en gras dans mon message. Il y a deux choses complètement différentes :
1°) Le sens dans lequel on parcourt le bord du domaine pour appliquer le théorème des résidus. On le parcourt en laissant à sa gauche l'intérieur du domaine. Donc pour la boucle de rayon

, on la parcourt dans le sens des aiguilles d'une montre.
2°) La détermination de

à l'intérieur du domaine. On veut que cette détermination aboutisse à

sur l'axe réel positif quand on arrive par le haut (du côté du segment A). En suivant cette détermination par continuité dans le domaine, on arrive à

quand on arrive sur l'axe réel positif par le bas. Il y a deux pôles de la détermination de

dans le domaine en

et

. Avec cette détermination de

et donc de

, les résidus en ces pôles sont respectivement

et

.
Il semble que tu veuilles prendre une autre détermination de

pour que cette détermination aboutisse à

sur l'axe réel positif quand on arrive par le bas. Cette détermination est égale à la précédente multipliée par

et aboutit à

quand on arrive sur cet axe réel par le haut. Les résidus aux pôles de la détermination correspondante de

sont aussi multipliés par

. Au bout du bout, on arrivera exactement au même calcul.