Intégral de lebesgue
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par Ben314 » 02 Nov 2014, 20:30
Salut,
C'est quoi la mesure de Lebesgue de l'ensemble des rationnels compris entre -1 et 1 ? (pourquoi ?)
et la mesure de Lebesgue des x dans [0,pi/2] tels que cos(x) soit rationnel ? (pourquoi ?)
C'est quoi la mesure de Lebesgue de l'ensemble des rationnels compris entre -1 et 1 ? (pourquoi ?)
et la mesure de Lebesgue des x dans [0,pi/2] tels que cos(x) soit rationnel ? (pourquoi ?)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par joanie58 » 03 Nov 2014, 03:52
Ben314 a écrit:Salut,
C'est quoi la mesure de Lebesgue de l'ensemble des rationnels compris entre -1 et 1 ? (pourquoi ?)
et la mesure de Lebesgue des x dans [0,pi/2] tels que cos(x) soit rationnel ? (pourquoi ?)
la mesure de lebesgue de l'ensemble des rationnels compris entre -1 et 1 serait 0, car on peut les écrire comme la réunion de singleton et la mesure d'un singleton est 0.
Pour la mesure de Lebesgue des x dans [0,pi/2] tels que cos(x) soit rationnel, je ne sais pas trop ..si on prend pi/2 (un irrationnel) cos(pi/2) = 0 est rationnel et si on prend cos(0) = 1 un rationnel aussi...
je ne sais pas trop sa me bloque...
par Ben314 » 03 Nov 2014, 08:06
La mesure des rationnels de [0,1], c'est bien 0, mais l'argument ne va pas : l'intervalle [-1,1] (et tout autre ensemble) est évidement réunion des singletons que le compose, et pourtant, il n'est pas de mesure nulle.
Ce qui est important, c'est que l'ensemble des rationnels de [-1,1] est dénombrable donc réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle (les singletons qui le compose).
L'ensemble des x de [0,pi/2] tel que cos(x) soit rationnel est-il lui aussi dénombrable ?
Ce qui est important, c'est que l'ensemble des rationnels de [-1,1] est dénombrable donc réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle (les singletons qui le compose).
L'ensemble des x de [0,pi/2] tel que cos(x) soit rationnel est-il lui aussi dénombrable ?
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par joanie58 » 03 Nov 2014, 11:28
Ben314 a écrit:La mesure des rationnels de [0,1], c'est bien 0, mais l'argument ne va pas : l'intervalle [-1,1] (et tout autre ensemble) est évidement réunion des singletons que le compose, et pourtant, il n'est pas de mesure nulle.
Ce qui est important, c'est que l'ensemble des rationnels de [-1,1] est dénombrable donc réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle (les singletons qui le compose).
L'ensemble des x de [0,pi/2] tel que cos(x) soit rationnel est-il lui aussi dénombrable ?
Je dirais que oui ? Est-ce que l'ensemble des x de [0,pi/2] tel que cos(x) soit rationnel sont des rationnels de [0,pi/2] ( tous les rationnels de
par Ben314 » 03 Nov 2014, 11:32
pi/3 est-il rationnel ? et cos(pi/3) ?
pi/4 est-il rationnel ? et cos(pi/4) ?
pi/4 est-il rationnel ? et cos(pi/4) ?
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par joanie58 » 03 Nov 2014, 11:45
Ben314 a écrit:pi/3 est-il rationnel ? et cos(pi/3) ?
pi/4 est-il rationnel ? et cos(pi/4) ?
pi/3 et pi/4 sont des irrationnel, mais
est-ce qu'il y en a d'autres irrationnels qui donne un angle rationnel...je n'arrive pas à tous les trouver...
par joanie58 » 03 Nov 2014, 12:08
Dans ce cas j'aurais que
dx =)
dx + \int_{[0,\{\frac{\pi}{2}\}]/ Q / \{\frac{\pi}{2}\}/\{\frac{\pi}{3}\}} \sin^2(x)dx=)
dx)
car la mesure de Lebesgue de
est 0
et comme
dx =)
dx -\int_{Q}\sin^2(x)dx -\int_{\{\frac{\pi}{2}\}}\sin^2(x)dx - \int_{\{\frac{\pi}{3}\}} \sin^2(x)dx=)
dx = \frac{\pi}{4})
on aurait donc
dx = \frac{\pi}{4} ???)
car la mesure de Lebesgue de
et comme
on aurait donc
par Ben314 » 03 Nov 2014, 12:45
C'est bien ça le principe... une fois montré que les x tels que cos(x) est rationnel sont de mesure nulle.
Comme les raisonnement sur la cardinalité ne semble pas être ton truc, je te donne la soluce :
La fonction cos est bijective de [0,pi/2] sur [0,1] donc, pour toute partie Y de [0,1] elle induit une bijection de cos^{-1}(Y) sur Y. En particulier, si Y est dénombrable alors cos^{-1}(Y) aussi.
En prenant Y=les rationnels de [0,1], ça te vend que l'ensemble des x tels que cos(x) soit rationnel ( = cos^{-1}(Y) ) est dénombrable donc de mesure nulle.
Et ne cherche surtout pas à "expliciter" cet ensemble autrement qu'en disant que c'est l'ensemble des ArcCos(p/q) où p/q est un rationnel de [0,1] : tu n'arrivera a rien.
P.S. Cet ensemble n'est pas l'ensemble des rationnels de [0,pi/2] et il contient (beaucoup) plus d'élément que les simples pi/3=ArcCos(1/2) et pi/2=ArcCos(0) : il est clairement infini...
Comme les raisonnement sur la cardinalité ne semble pas être ton truc, je te donne la soluce :
La fonction cos est bijective de [0,pi/2] sur [0,1] donc, pour toute partie Y de [0,1] elle induit une bijection de cos^{-1}(Y) sur Y. En particulier, si Y est dénombrable alors cos^{-1}(Y) aussi.
En prenant Y=les rationnels de [0,1], ça te vend que l'ensemble des x tels que cos(x) soit rationnel ( = cos^{-1}(Y) ) est dénombrable donc de mesure nulle.
Et ne cherche surtout pas à "expliciter" cet ensemble autrement qu'en disant que c'est l'ensemble des ArcCos(p/q) où p/q est un rationnel de [0,1] : tu n'arrivera a rien.
P.S. Cet ensemble n'est pas l'ensemble des rationnels de [0,pi/2] et il contient (beaucoup) plus d'élément que les simples pi/3=ArcCos(1/2) et pi/2=ArcCos(0) : il est clairement infini...
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