''Inf'' d'une intégrale

par **MacManus** » 07 Nov 2008, 23:52

Bonsoir,

Je me souviens avoir eu un exercice de ce type il y a quelques temps, en revanche je ne me souviens plus de la méthode à employer pour le résoudre... bref si quelqu'un pouvait m'aider à raisonner correctement afin d'en donner une interprétation "inoubliable" si je puis dire...

On considère l'espace de Hilbert H =

. Déterminer

par **leon1789** » 07 Nov 2008, 23:57

hé l'eau !!

on pourrait calculer l'intégrale ?

par **MacManus** » 08 Nov 2008, 00:03

Hé léo

Oui bonne idée :) on intègre par parties en prenant u la fonction polynôme et v' la fonction exponentielle ... non ?

par **leon1789** » 08 Nov 2008, 00:08

of course, my dear :zen:

par **Skullkid** » 08 Nov 2008, 00:27

Bonsoir, cet exercice m'en rappelle un autre que j'avais eu l'année dernière (je l'avais posé sur le forum, je vais voir si je retrouve le lien) : ne pourrait-on pas se placer dans l'ev E des fonctions polynômiales de degré inférieur à 3 muni du produit scalaire qui correspond à ton intégrale, et considérer l'inf que tu recherches comme la distance au carré entre 0 et le sev des fonctions de la forme

?

par **leon1789** » 08 Nov 2008, 00:30

Skullkid a écrit:(...) comme la distance au carré entre 0 et le sev des fonctions de la forme ?

0 appartient à tous les ss-ev.
et les polynômes

ne définissent pas un ss-ev.

par **Skullkid** » 08 Nov 2008, 00:31

Oula oui en effet, je suis allé trop vite, désolé... Dans ce cas, a-t-on des théorèmes sur la distance à une partie quelconque ? (je n'ai plus trop de souvenirs là-dessus)

par **leon1789** » 08 Nov 2008, 00:34

Skullkid a écrit:Bonsoir, cet exercice m'en rappelle un autre que j'avais eu l'année dernière (je l'avais posé sur le forum, je vais voir si je retrouve le lien) : ne pourrait-on pas se placer dans l'ev E des fonctions polynômiales de degré inférieur à 3 muni du produit scalaire qui correspond à ton intégrale,(...)

Oui.

En fait, pour le produit scalaire

défini sur les fonctions polynômes, on veut trouver le projeté orthogonal de

sur le sous-espace vectoriel formé par les polynômes de degré

:we:
Bref, on veut trouver la meilleure droite approximant

pour une certaine norme.

par **MacManus** » 08 Nov 2008, 00:37

Oui je vois ce que veut dire Skullkid j'ai eu aussi ce genre d'exo. Il était aussi question de projeté orthogonal si je me souviens bien...

pour l'intégrale,Léon, je trouve

par **Skullkid** » 08 Nov 2008, 00:37

leon1789 a écrit:Oui.

En fait, pour le produit scalaire , on veut trouver le projeté orthogonal de sur le sous-espaces vectoriel formé par les polynômes de degré :we:
Bref, on veut trouver la meilleure droite pour une certaine norme.

Ah, voilà, j'avais mal pris le problème, c'était le sev des fonctions affines qu'il fallait considérer... Bon maintenant est-ce que ça rend la chose plus facile ? :ptdr:

par **leon1789** » 08 Nov 2008, 00:41

MacManus a écrit:pour l'intégrale,Léon, je trouve

Il y a des erreurs de signes (c'est un moindre mal :we: )
regarde pour a=b=0 , tu intègres une fonction >0 :id:

En fait, ça donne plutôt ça

par **leon1789** » 08 Nov 2008, 00:43

Ensuite, on cherche un zéro du gradient (il n'y en a qu'un ...ouf !), qui donne le minimum (en raison de la projection orthogonale ! :id: ).

par **MacManus** » 08 Nov 2008, 00:50

Oui ok pour les signes c'est logigue : fonction positive sur l'intervalle considéré. Ensuite on veut calculer en fait les dérivées partielles par rapport à a et à b c'est bien ca ?

je trouve que le gradient s'annule en (a,b)=(18,-12)
est-ce correct ??

par **leon1789** » 08 Nov 2008, 16:50

MacManus a écrit:je trouve que le gradient s'annule en (a,b)=(18,-12)
est-ce correct ??

yes ! :++:

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