Inégalités arithmético géométrique

[mwa_16]

Bonjour j'ai un dm à rendre et je bloque sur une question est ce que quelqu'un pourrait m'aider?
A=(x1+x2+.....+xn)/n et G=(x1*x2*...*Xn)^(1/n) Soit Pn la proposition : "pour tt (x1,x2,...,xn) appartenant à (R+)^n, G=
1)Pour n>=2, en choisissant - étant donné n-1 réels x1,x2,...,x(n-1)>=0-,
xn=(x1+x2+...+x(n-1))/(n-1), démontrer que P(n) implique P(n-1).
2) Démontrer que P(n) et P(2) impliquent P(2n)

J'ai maintenant réussit la question 1 mais je ne vois pas comment faire la question 2

[girdav]

Si je comprends bien, tu as:\\
[/TEX] P(n) \ \Leftrightarrow \ \forall \ x = (x_1,\cdots,x_n) \ \in \R_+^n, \ \dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i \ \leq (\Pi_{i = 1}^n x_i)^{\frac{1}{n}} $ et \\
$ P(2) \Leftrightarrow \dfrac{X_1 + X_2}{2} \ \leq \ \sqrt{X_1 X_2}$.
(les $X_1$ et $X_2$ n'ont aucune raison d'\^etre les m\^emes).\\
Il faut poser:
$ X_1 = \sum_{i = 1}^n x_i $ et\\
$ X_2 = \sum_{i = n + 1}^2n x_i $\\
On a alors:
\frac{1}{2n}\sum_{i = 1}^2n \ = \ \dfrac{X_1 + X_2}{2n} \leq (\Pi_{i = 1}^n x_i.\Pi_{i = n + 1}^2n x_i)^{\frac{1}{2n}} [/TEX]

[ffpower]

Tu maitrises pas les balises TEX je crois^^. Faut mettre [TEX] avant la formule et [/TEX ] apres.Et les $ ne marchent pas.. :++:

[mwa_16]

tu peux reformuler GIRDAV stp car je ne comprends pas grand chose! merci

[girdav]

Désolé j'avais fait ça avec un éditeur Latex classique. Je pensais que comme tout était en code Latex, il suffisait de faire un copier-coller.
Ceci, grâce à ffpower, devrait être plus lisible.

[girdav]

On a :
.
(les et n'ont aucune raison d'être les mêmes que les et )
Il faut poser:
et

On a alors:

ce qui est exactement P(2n).(on a appliqué P(2) puis P(n), et on a le droit de "multiplier" l'inégalité car les termes sont positifs).