Inegalités arithmético-géometrique

[acrobate23]

Bonjour,
j'ai un exercice où le but est de demontrer l'inégalité arithmetico-géometrique.
Tout d'abord il faut montrer que:
1) a) Pour tout (x,y) appartenant à (R+)^2 , √xy ≤ (x+y)/2

Cette question est assez simple j'y suis arrivé

b) En deduire que pour tout n entier naturel et pour tout (x1, ... , x2^n) appartenant à (R+)^2 on a:

(√(x1*x2*....*x(2^n)))^1/2^n ≤ (x1 + x2 +....+ x2^n)/(2^n)

j'y arrive pas du tout, j'ai beaucoup de mal...

2) Soient n un entier et (x1, ... , x2^n) appartenant à (R+*)^n on note m = (1/n) * x1*x2 *... * xn la moyenne arithmetique des nombre x1,....,xn

a) Montrer que 2^n > n
ça tout vas bien, avec un peu de temps j'y suis arrivé...

b) on pose xn+1 = ... = x2^n = m. En utilisant les questions precedante montrer l'inégalite arithmetico-géometrique

j'aurai peut etre moins de mal avec cella en resolvant la question 1 mais la je vois pas du tout

[Ben314]

Salut,
La question 1)b), c'est une simple déduction de la question 1)a) qui se démontre par récurrence sur n.
Pour n=1, tu as 2^1=2 termes et l'inégalité à démontrer est celle du 1)a) ;
Pour n=2, tu as 2^2=4 termes et tu peut les regrouper en deux groupes de 2.
Pour n=3, tu as 2^3=8 termes et tu peut les regrouper en deux groupes de 4.
etc..