soient a,b des entiers naturels non nuls.
on pose
est ce que cette application vérifie l'inégalité triangulaire?
je le vois avec un diagramme de Venn mais je préférerai une démonstration.
Merci
Inégalité triangulaire
6 messages
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inégalité triangulaire
par mathelot » 15 Juil 2016, 21:56
Bonsoir,
soient a,b des entiers naturels non nuls.
on pose
=log(a)+log(b)-2 log (gcd(a,b)))
est ce que cette application vérifie l'inégalité triangulaire?
je le vois avec un diagramme de Venn mais je préférerai une démonstration.
Merci
soient a,b des entiers naturels non nuls.
on pose
est ce que cette application vérifie l'inégalité triangulaire?
je le vois avec un diagramme de Venn mais je préférerai une démonstration.
Merci
Re: inégalité triangulaire
par Razes » 16 Juil 2016, 02:59
J e n'ai trouvé que cette façon, qui est un peu longue.
Soient
(avec 
entier variant de 
à 
) les nombres premiers composant les nombres 
, et soient 
tel que:
Soient
tel que
=\prod_{i=0}^{n}p_i^{\lambda _i})
; avec )
=\prod_{i=0}^{n}p_i^{\zeta _i})
; avec )
=\prod_{i=0}^{n}p_i^{\delta _i})
; avec )
Calculons+d(c,b)=\sum_{i=0}^{n}(\alpha_i+\beta_i+2\gamma _i-2\zeta _i-2\delta _i)\log p_i)
=\sum_{i=0}^{n}(\alpha_i+\beta_i-2\lambda _i)\log p_i)
Donc Posons :+d(c,b)-d(a,b)=2\sum_{i=0}^{n}(\gamma _i+\lambda _i-\zeta _i-\delta _i)\log p_i)
Montrons que
, prenons 
; Montrons que 
Avec comme conditions:
On a 6 cas de figures qui se réduisent à 3 (
et 
jouant le même rôle), en considérant :
A toi de le faire (je l'ai fait de mon coté)
Soient
Soient
Calculons
Donc Posons :
Montrons que
Avec comme conditions:
On a 6 cas de figures qui se réduisent à 3 (
A toi de le faire (je l'ai fait de mon coté)
Modifié en dernier par Razes le 16 Juil 2016, 13:13, modifié 4 fois.
Re: inégalité triangulaire
par zygomatique » 16 Juil 2016, 12:45
salut
il manque les log ...
il manque les log ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
Re: inégalité triangulaire
par mathelot » 16 Juil 2016, 13:06
effectivement
- il manque les log
- la discussion en six cas nous permet de conclure après examen de chaque cas particulier
Merci beaucoup.
- il manque les log
- la discussion en six cas nous permet de conclure après examen de chaque cas particulier
Merci beaucoup.
Modifié en dernier par mathelot le 29 Juil 2016, 15:01, modifié 3 fois.
Re: inégalité triangulaire
par Razes » 16 Juil 2016, 13:08
C'est rectifié, Merci pour votre attention.
Re: inégalité triangulaire
par aymanemaysae » 16 Juil 2016, 15:16
Bonjour,
M. Razes a fait tout le travail, néanmoins j'aimerai dire un petit mot:
 + \ln(b) - 2 \ln(a \wedge b) = \ln(ab) - 2 \ln(a \wedge b) = \ln((a \wedge b)(a \vee b)) - 2 \ln(a \wedge b) = \ln(\frac{a \vee b}{a \wedge b}))
.
le reste est inspiré de la démarche de M. Razes .
M. Razes a fait tout le travail, néanmoins j'aimerai dire un petit mot:
le reste est inspiré de la démarche de M. Razes .
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