Inégalité triangulaire et inégalité de convexité

[mhalter]

Bonjour,

Je m'emmêle un peu les pédales:
Pour quel type de démonstrations utilise-t-on l'une et pour quel autre type de démonstrations l'autre?

Bonne journée

[alavacommejetepousse]

bonjour

question beaucoup trop vague

[mhalter]

Alors je recommence, en tentant cette fois d'être plus précise! :happy2:

Je vous donne l'énoncé d'un de mes exercices:
Soit A= le couple (x,y) appartenant à R², avec valeur absolue de x + valeur absolue de y < ou = à 1

Après avoir représenté graphiquement l'ensemble A, il faut démontrer que A est un ensemble convexe.
Pour cet exercice par exemple, je ne comprends pas pourquoi on utilise l'inégalité triangulaire.
En partant du principe qu'on cherche à démontrer une convexité, j'aurais utilisé l'inégalité de convexité.

C'est pour ça que dans ce topic, je vous demande dans quel cas on utilise l'inégalité de convexité, et dans l'autre l'inégalité triangulaire pour démontrer une convexité.

J'espère avoir été plus claire :happy2:

Merci

[alavacommejetepousse]

concrètement qu 'est ce que A ?

le dessin ne suffit il pas ?
sinon on ne dessine pas et on travaille avec tM + (1-t)N les yeux fermés
et on utilise bien l'inégalité triangulaire ici

[mhalter]

Oui tu as raison, on utilise bien tM + (1-t)N avant d'utiliser l'inégalité triangulaire.

Mais peux-tu m'expliquer ton raisonnement ? C'est ça que je ne comprends pas, pourquoi on utilise cette relation ainsi que l'inégalité triangulaire.

[alavacommejetepousse]

je ne suis pas sûr de comprendre

montrer que est convexe c'est montrer que tout segment [MN] d'extrémités dans A est contenu dans A

un point H du segment s'écrit H = tM +(1-t)M avec t dans [0,1]
le segment étant l'ensemble des barycentres de M et N à masses positives
puis on doit montrer que l xH l+l lyHl =< 1 avec l'inégalité triangulaire