Inégalité avec valeur absolue

[Abilys38]

Bonjour,

J’ai cette inégalité à démontrer:
|sin(nx)| ≤ n|sin(x)|
Je n’ai pas l’habitude de ce genre de problème. Je pensais le résoudre en suivant ces étapes:

1) Etude des signes des deux fonctions
2) Définition de h(x) = n|sin(x)| - |sin(nx)|
3) Calcul de la dérivé selon les résultats du 1)
4) Etude des signes et conclusion

Je pense que je ne choisis pas la bonne méthode… Je voudrais donc savoir si mon raisonnement est adaptée à ce cas, et également si cette méthode est la plus adaptée en règle général?

Je ne demande pas une réponse toute faite mais juste une légère indication si je suis dans la mauvaise voie

Merci pour votre aide
Bonne journée

[chan79]

salut
Je suppose que n est un entier naturel
Essaie par récurrence

[Razes]

chan79 a raison

[Abilys38]

Merci pour votre conseil.

J'ai tenté ça, désolé si j'ai homis une ou deux étapes, mais j'écris depuis un ipad:

On utilise une récurrence double:
Première étape: Avec n=0 et n=1 (c’était ok sans problème)

2 éme étape: Démontrer n+1 en admettant n-1 et n.

On admet que:
- |sin(nx)| ≤ n|sin(x)|
- |sin((n-1)x)| ≤ (n-1)|sin(x)|  |sin(nx-x)| ≤ n|sin(x)| - |sin(x)|
- Montrons que |sin(nx+x)| ≤ n|sin(x)| + |sin(x)|

|sin(nx+x)| = |sin(nx)cos(x) + cos(nx)sin(x) | or cos x et cos nx sont inférieurs à 1 donc
|Sin(nx) + sin(x)| ≥ |sin nx cos x + cos nx sin x|
|Sin(nx) + sin(x)| ≥ Sin (nx + x)
OR, |sin(nx) | ≤ n |sin(x) |
Et, (inégalité triangulaire), n|sin(x) | + |sin(x) | > ou égal à | n sin(x) + sin(x) |
Donc, |sin(nx+x)| ≤ n|sin(x)| + |sin(x)|

[Razes]

Oui, c'est ça. il faut juste dégraisser ce qui est superflu. De plus essais de garder les inégalités dans un même sens car c'est une source d'erreurs.

Merci pour votre conseil.

J'ai tenté ça, désolé si j'ai homis une ou deux étapes, mais j'écris depuis un ipad:

On utilise une récurrence double:
Première étape: Avec n=0 et n=1 (c’était ok sans problème)

2 éme étape: Démontrer n+1 en admettant n-1 et n.

On admet que:
- |sin(nx)| ≤ n|sin(x)|
- |sin((n-1)x)| ≤ (n-1)|sin(x)|  |sin(nx-x)| ≤ n|sin(x)| - |sin(x)|
- Montrons que |sin(nx+x)| ≤ n|sin(x)| + |sin(x)|

|sin(nx+x)| = |sin(nx)cos(x) + cos(nx)sin(x) | or cos x et cos nx sont inférieurs à 1 donc
|Sin(nx) + sin(x)| ≥ |sin nx cos x + cos nx sin x|
|Sin(nx) + sin(x)| ≥ Sin (nx + x)
OR, |sin(nx) | ≤ n |sin(x) |
Et, (inégalité triangulaire), n|sin(x) | + |sin(x) | > ou égal à | n sin(x) + sin(x) |
Donc, |sin(nx+x)| ≤ n|sin(x)| + |sin(x)|

[aymanemaysae]

Bonjour,

Bravo, c'est bien vu. M.Chan79 et M.Razes vous ont mis sur le bon chemin .

Pour faire semblant d'intervenir moi aussi, je vais réécrire votre solution pour faire plus joli.

1) initialisation de la récurrence:

et

2) supposons que , ,

et montrons que cette relation est valide pour le rang .



: on a majoré par

,

donc .

[chan79]

2 éme étape: Démontrer n+1 en admettant n-1 et n.


Donc, |sin(nx+x)| ≤ n|sin(x)| + |sin(x)|

oui, c'est ça, mais plus simplement, après avoir vérifié l'initialisation, si c'est vrai pour n, c'est vrai pour n+1:

|sin((n+1)x)|=|sin(nx+x)|=|sin(nx)cosx+sinx*cos(nx)|<=|sin(nx)|+|sinx|<=n|sinx|+|sinx|=(n+1)*|sin(x)|
en justifiant

[chan79]

Tu peux vérifier de la même façon que ça marche en remplaçant sinus par cosinus mais seulement si n est impair

[Abilys38]

Merci pour vos réponses. Donc en fait pour une récurrence double pas besoin de préciser qu'on admet n-1?

Ensuite, je retiens que je dois rajouter quelques précisions pour consolider le raisonnement.

Merci en tout cas!

[Razes]

Pas besoin de

[Abilys38]

Ah oui effectivement je m'aperçois que je l'ai pas utilisé une fois

Mais, si il y en avait eu besoin, j'aurais pu l'admettre également? (Grâce au fait que j'ai démontrer n=1 et n=0)

[Razes]

Généralement tu n'en a pas besoin du tout.