Image d' un ouvert simplement connexe

[Matyeu]

Bonjour,

J' aimerai savoir si l'image d'un ouvert simplement connexe de C par une application continue est encore un ouvert simplement connexe ?
Si non, quelle condition pour que cela soit vrai (holomorphe ?)

Et dans le cas général ? (c'est à dire pas seulement dans C)

Je ne vois pas du tout comment partir pour montrer si c'est vrai, c'est pour cela que je souhaiterai avoir de l'aide

Merci beaucoup.

[yos]

Bonjour.

Si on prend , on transforme continûment en un cercle. Donc "continue" doit pas suffire.

Avec une homéomorphie ça doit être bon.

[Matyeu]

Merci mais [0,2pi] n'est pas un ouvert simplement connexe.

La chose qui m'intéresse le plus est de savoir si l'image d'un ouvert simplement connexe de C par une application continue est un ouvert simplement connexe de C.
Après on peut raffiner :we:

[quinto]

Merci mais [0,2pi] n'est pas un ouvert simplement connexe.

La chose qui m'intéresse le plus est de savoir si l'image d'un ouvert simplement connexe de C par une application continue est un ouvert simplement connexe de C.
Après on peut raffiner :we:

Salut, bein ca ne change rien, donne toi (-1, 3 Pi) et tu as ta réponse.

Si tu parles d'ouverts dans C (ce que tu aurais du préciser), le résultat reste le même et la fonction exponentielle convient toujours :

Donne toi le demi plan gauche, il est envoyé sur le disque unité épointé en 0.

a+

[quinto]

Et tu vois au passage que la condition d'holomorphie ne change rien.

En revanche, tu vois que la bijectivité n'est jamais respectée sur ces exemples.
Conjecture ?
Une application holomorphe injective envoie un domaine simplement connexe sur un domaine simplement connexe...

[Matyeu]

Oui en effet

Si on rajoute la bijectivité, c'est vrai, plus précisément:

Si f est une application continue injective sur un ouvert U de C simplement connexe, sur un ouvert f(U) de C, alors f(U) est simplement connexe.

Car si on prend un lacet dans f(U) on a un lacet dans U, qui est homotopiquement trivial, et on prend l' image de l'homotopie par f.

[Matyeu]

Petite erreur, f doit être un homéomorphisme, car sinon l' image réciproque du lacet continue n'est pas forcément continue

[quinto]

En fait une fonction injective holomorphe a automatiquement une réciproque holomorphe.
On n'est donc pas obligé de supposer grand chose de plus dans ce cas précis.

Si tu veux regarder ce qui se passe sur les fonctions continues, ce n'est plus vrai et là tu dois effectivement supposer que l'on a bien une réciproque continue.