Idéaux maximaux de l'algèbre des fonctions continues

[Collap35]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice d'analyse, si quelqu'un peut m'aider ce serait très sympa ! Voici l'énoncé :

"Soit X un espace topologique compact. On note C(X,K) la K-algèbre des applications continues de X dans K (K=R ou C)

1) Soit I un idéal propre de C(X,K), montrer que les éléments de I ont au moins un zéro commun. (Fait)

2) Quels sont les idéaux maximaux de C(X,K) ? (J'ai montré que ce sont les ensembles Ix={fonctions qui admettes x pour unique zéro commun})

3) Quels sont les morphismes d'algèbres de C(X,K) dans K ? (J'ai montré que ce sont les morphismes d'évaluation)

4) On suppose que X et X' sont deux compacts de K. Montrer que tout morphisme d'algèbres de C(X,K) dans C(X',K) s'écrit f -> fog où g est une application continue de X' dans X.

5) En déduire qu'un tel morphisme est toujours continu pour la norme uniforme (fait). En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que C(X,K) et C(X',K) soient isomorphes.

Je bloque complètement sur les parties en gras ... Merci d'avance si vous pouvez me donner quelques indications ! :we:

[Ben314]

Soit ta fonction de dans .
Pour tout , soit la "fonction d'évaluation en y".
Comme les deux sont des morphismes d'algèbre, la composée est un morphisme d'algèbre donc...

[Ben314]

Pour la question 5), c'est une application assez simple de la 4 :
Si tu as un isomorphisme d'algèbre entre C(X,K) et C(X',K), c'est que tu as :
- Un morphisme d'algèbre de C(X,K) dans C(X',K) donc de la forme f -> fog (où g:X'->X est continue)
- Un morphisme d'algèbre de C(X',K) dans C(X,K) donc de la forme h -> hok (où k:X->X' est continue)
et ces morphismes sont tels qu'en les composant (dans un sens ou l'autre), la composée est l'identité (sur C(X,K) ou sur C(X',K))
Tu doit en déduire des choses concernant gok et kog..

[Collap35]

Merci beaucoup !!

[Collap35]

Il reste quand même un point de la question 4) qui ne me paraît pas clair ...
On a donc que est un morphisme d'évaluation en un certain point x de X. Donc pour tout f de C(X,K). Donc peut s'écrire
f -> fog où g est une fonction de X' dans X qui à y associe x. Mais comment prouve-t-on la continuité de g ?

[Collap35]

Il reste quand même un point de la question 4) qui ne me paraît pas clair ...
On a donc que est un morphisme d'évaluation en un certain point x de X. Donc pour tout f de C(X,K). Donc peut s'écrire
f -> fog où g est une fonction de X' dans X qui à y associe x. Mais comment prouve-t-on la continuité de g ?

Je bloque toujours sur ce point, quelqu'un peut-il m'aider ?

[Ben314]

Dans un cadre plus théorique, ça risque effectivement de ne pas être évident du tout, mais là, l'énoncé est "super gentil" : pour cette question là, il a supposé que X et X' étaient des compacts contenus dans K.
Donc parmi les fonctions continues f de X dans K, il y en a une "très spéciale", qui est bêtement la fonction x->x (il vaut mieux éviter de l’appeler Id vu que l'ensemble de départ K et celui d'arrivé C ne sont pas les mêmes : on parle souvent "d'injection canonique").

Si tu applique ce que tu sait à cette fonction là, ça te "vend" que g est continue (pour pas cher...)