Hyperplan

[barbu23]

Bonjour à tous,

Rappel :

Soit : l'application définie par :
qui induit une bijection entre et le complémentaire dans de l'hyperplan projectif d'équation : .

Géométriquement, l'image par d'un point est la droite vectorielle de contenant le point .

Soit un sous espace affine de , Soit le sous espace vectoriel de engendré par .

Le complété projectif de est la variété linéaire projective avec : la surjection canonique associée à l'espace projectif .

Ma question est la suivante :

Si, en particulier est l'hyperplan affine d'équation : , pourquoi son complété projectif est l'hyperplan d'équation : ?

Merci d'avance. :happy3:

[BiancoAngelo]

Bonjour à tous,

Rappel :

Soit : l'application définie par :
qui induit une bijection entre et le complémentaire dans de l'hyperplan projectif d'équation : .

Géométriquement, l'image par d'un point est la droite vectorielle de contenant le point .

Soit un sous espace affine de , Soit le sous espace vectoriel de engendré par .

Le complété projectif de est la variété linéaire projective avec : la surjection canonique associée à l'espace projectif .

Ma question est la suivante :

Si, en particulier est l'hyperplan affine d'équation : , pourquoi son complété projectif est l'hyperplan d'équation : ?

Merci d'avance. :happy3:

Bonsoir barbu,

A défini par ,
On peut construire l'espace vectoriel engendré par en prenant la soustraction induite de A.

C'est à dire qu'à tous points et , on peut associer le vecteur , vecteur de

Maintenant, on a :


car

En projetant , on a donc des points de la forme :
qui vérifient



Je pense que c'est ce que j'écrirais.
En espérant que ça t'aide et que je n'ai pas raconté n'importe quoi :ptdr:

[barbu23]

Merci BiancoAngelo pour ces précisions. :happy3:
C'est à partir du paragraphe suivant que je n'arrive pas à comprendre : :hein:

Maintenant, on a :


car

En projetant , on a donc des points de la forme :
qui vérifient

Merci quant même pour ton aide. :happy3:

[BiancoAngelo]

L égalité provient juste du fait que je développe et que je rassemble ensuite les termes en x et en x'.
C'est ça que tu comprends pas ?

[BiancoAngelo]

A défini par ,
On peut construire l'espace vectoriel engendré par en prenant la soustraction induite de A.

C'est à dire qu'à tous points et , on peut associer le vecteur , vecteur de

On rappelle qu'on construit ce vecteur par le rajout de la coordonnée 1 au vecteur des n coordonnées d'un vecteur de Vect(A).

Maintenant, on a :





par la définition de l'hyperplan A (équation du début de l'énoncé).

C'est à partir d'ici qu'il faut traiter correctement les choses...

EDIT 1 : Oui, j'avais écrit le post un peu tard, du coup je ne tombe pas sur le résultat...
EDIT 2 : J'avais encore pris le projeté, or ce n'est pas ça qu'on prend après.

[barbu23]

C'est à dire qu'à tous points et , on peut associer le vecteur , vecteur de

Maintenant, on a :

Tu affirmes d'une part, que : et d'autre part, tu affirmes que : , c'est à dire : , ce n'est pas possible.

[BiancoAngelo]

J'ai édité mon post, mais effectivement, du coup, ça ne fonctionne pas.
Je re-regarde.

[BiancoAngelo]

J'ai compris mon erreur.

A défini par ,
On peut construire l'espace vectoriel engendré par en prenant la soustraction induite de A.

C'est à dire qu'à tous points et , on peut associer le vecteur , vecteur de
Vu que pour engendrer le Vect( {1}) ce sont les combinaisons linéaires de 1...

On rappelle qu'on construit ce vecteur par le rajout de la coordonnée au vecteur des n coordonnées d'un vecteur de Vect(A).

Maintenant, on a :






par la définition de l'hyperplan A (équation du début de l'énoncé).

Après, je pense que, à cause de la projection, ça devient égal à 0, vu qu'on prend que les droites vectorielles associées.

Qu'en penses-tu ?
Es-tu sûr de la dernière définition ?
Vu que C(A) est de dimension (n+1)...

[barbu23]

Oui, la définition se trouve dans un papier que j'ai recopié quant j'étais encore étudiant il y'a quelques années. C'est donc une définition du cours.
Oui : .

[Ben314]

... le sous espace vectoriel de ...

Oui : .

:king2:

[barbu23]

Je m'excuse BiancoAngelo :
avec : .