Homothétie

[hazaki]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire pour le prochain TD mais je ne vois pas du tout comment faire.
Voici l'ennoncé :

Soit f : une fonction croissante vérifiant :

(x,y)² , f(x+y)=f(x)+f(y)

On doit prouver que f est une homothétie, càd qu'il existe un réel tel que, pour tout réel x, f(x) = x. Pour cela, montrons que :

1)n, f(n) = nf(1) et f(-n) = -nf(1).
2) x , f(q)=qf(1).
3)Conclure.

Merci d'avance pour votre aide.

[girdav]

Bonjour,
je suppose que le but est de montrer qu'il existe un réel tel que pour tout réel , .
As-tu réussi la première question?

[hazaki]

Oui, exactement, on dirait que j'ai eu un problème lors du postage du message.
Non je n'ai pas réussi la première question. J'imagine qu'il faut faire une récurrence mais je vois pas trop comment partir, ni quoi faire.

[girdav]

Oui, pour la première partie une récurrence fait l'affaire. L'initialisation n'est pas dure (établis que ) puis l'hérédité repose sur le fait que .

[benekire2]

Salut, je pense qu'après ça la question 2 devrait pas être bien dûre. Ensuite pour la dernière il faudra penser à la densité de Q dans R...

[Nightmare]

Salut,

pour la 3. je t'invite à réfléchir à la proposition suivante : " tout réel est entièrement déterminé par l'ensemble des rationnels qui lui sont inférieurs et ceux qui lui sont supérieurs" (c'est faux si l'on remplace rationnel par entier par exemple).

Ensuite vois pourquoi le résultat qu'on veut en découle trivialement.

[hazaki]

Bonjour et merci pour toutes vos réponses, donc je vais commencer par la question 1 et par l'initialisation.
(montrons f(0)=0)
Je peux mettre f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0).
On a donc f(0)=2f(0).
Donc f(0)=0.
est-ce cela ?

[hazaki]

C'est bon j'ai réussi la première question :we:
Par contre pour la deuxieme ( pour tout x rationnel , f(x)=xf(1) ), il y avait des erreurs dans l'enoncé, je ne sais pas comment faire.
J'imagine que j'initialise à 0, n'est-ce pas ?