Homographie d'un carré

[xelif]

Bonjour, dans le cadre d'un projet scolaire(informatique), je dois calculer l'homographie d'un quadrilatere (image d'un carré par une perspective afin de le transformer en carré )

voici par exemple une image de ce que je dois faire : (pour l'instant seulement sur le quadrilatere englobant l'ellipse)



mais j'avoue que je suis un peu perdu, si vous pouviez me mettre sur la piste de ce qu'il faut faire...

[EDIT]
en fait, j'ai lu sur la toile qu'il fallait calculer les points de fuite ( ca c'est pas dur, il suffit de calculer en quels points les droites passant par les coté du carré se coupent )

ensuite, il faudrait calculer ( si j'ai bien compris ) l'homographie des points p1, p2 ( pints de fuite de mon image ) par la matrice :

H = (1 0 0,
0 1 0,
a b -f)

afin de trouver les coordonnées de ces points en l'infini

mais je ne comprends pas quels sont les coeficients a, b, et f et comment les calculer....

toujours selon le meme document : [url="recherche.ign.fr/doc/BI72/B01_72_MARCHADIER.pdf"]B01_72_MARCHADIER.pdf[/url]

Les points de fuite obtenus ne sont pas nécessairement orthogonaux,
redressement des images. Il est alors nécessaire de calculer le cisaillement C tel que P1;) * transposée(P2;)) = 0.Celui-ci s’exprime de manière simple.À l’aide de la seule connaissance de deux points de fuite principaux nous pouvons calculer un redressement simple, en composant les deux transformations précédentes.
Cette transformation s’écrit, toujours à l’aide d’une formulation projective : H’ = CH.

les calculs pour calculer le cisaillement je dois pouvoir les faire de manière assez simple en resolvant le systeme d'équation ( decomposition LUP, ou au pire methode de Cramer ) la multiplication des matrice C et H aussi,

mon problème est en fait : coment trouver l'homographie H a appliquer a partir de mes points de fuite

Merci d'avance pour vos reponse, et désolé si je ne suis pas clair......

[busard_des_roseaux]

bonjour,
J'ai essayé de regarder. :hum:

Au départ, nous avons la géométrie projective. Elle sait caractériser le parallèlisme avec les propriétés d'incidence (intersection de "droites" et de "plans") en ayant oublié les propriétés métriques (celles qui concernent les distances).

aspect algébrique:
c'est le premier aspect. Nous considérons l'espace usuel affine
de dimension 3. On plonge cet espace comme un hyperplan affine d'un espace vectoriel de dimension 4.

, privé de zéro, est quotienté par la relation d'équivalence si et seulement si
tel que et et et

On voit que les classes d'équivalence de cette relation sont les droites vectorielles de . Ce sont des "points" dans l'ensemble quotient , l'espace projectif.

Ces points sont caractérisés par un quadruplet de quatre coordonnées (x,y,z,t) définies à un facteur multiplicatif prés.

Concernant une droite vectorielle quelconque de , dirigée par un vecteur , deux cas sont possibles:

On obtient alors une bijection entre ces droites et notre espace affine par l'application:


On réalise ainsi l'espace affine comme partie de l'espace projectif
est aussi identifié à l'hyperplan affine de d'équation t=1.

2ème cas:

t=0.
L'ensemble des droites vectorielles de qui vérifient cette relation est un hyperplan de . Par le passage au quotient, chaque droite vectorielle de l'hyperplan d'équation
donnera un "point" de qui sera interprété comme un point à l'infini de E.

Comme t=0, ces droites vectorielles sont caractérisées par un triplet, cette fois, de coordonnées, triplet défini à un facteur multiplicatif près, ce qui correspond bien à une direction de droite dans l'espace affine usuel de dimension 3. E admet donc un et un seul point à l'infini dans chaque direction.

[busard_des_roseaux]

Préliminaire:
On dit que l'on "remonte" un point M(X,Y,Z) de l'espace affine
quand on s'intéresse aux quadruplets (x,y,z,t) dont il provient par quotient.
Une autre manière de voir cela est de dire que l'on passe en coordonnées
homogènes: on remplace alors le système de coordonnées usuelles
en coordonnées homogènes

Le problème qui nous occupe: la perspective

Nous nous situons dans l'espace affine usuel de dimension 3.
L'oeil humain regarde.

L'oeil, assimilé à un point de E, regarde le plan affine , hyperplan de . n'appartient pas à .
Il y a un second plan affine de , qui est le plan de la cornée (la cornée de l'oeil) ou le plan de la photographie.

On considère la projection de l'espace affine (de dimension 3)
sur le plan de la cornée comme l'application

à un point m de E, on associe le point m' de , intersection de la droite
avec

voilà disons la modélisation "affine" de la perspective. Pour utiliser la géométrie projective, on remonte les points de E dans l'espace vectoriel
de dimension 4, que l'on quotiente en

Dès lors, les plans affines et sont remontés en deux hyperplans vectoriels et de dimension 3 de .
Le point de E remonte en une droite vectorielle de
On considère alors la projection de sur parallèlement à .
Elle ne passe pas au quotient car ce n'est pas un isomorphisme, mais..

Dans , les deux sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires,
un vecteur non nul de a une composante sur et une composante sur .

La restriction de à ,elle, définit un isomorphisme linéaire de sur qui passe au quotient pour donner l'homographie
cherchée.

Comment la définir pratiquement ? Mystère et boule de gomme. :doh:

[busard_des_roseaux]

xelif,

Si tu es lyçéen ou en première année, imprime ce fil, qui peut servir de base théorique et n'hésite pas à demander des explications à ton enseignant de mathématiques..
cf le livre "géométrie" de Michèle Audin chez EDP sciences.

Cordialement,

PS:
içi

C'est bien expliqué. L'invariant projectif, ie, ce qui est conservé par les applications projectives , en particulier la prespective, est le bi-rapport
de quatre points alignés, noté

avec des conventions concernant le ou les deux points à l'infini.

Règle: ce birapport est le même pour quatre points alignés et leurs points projetés dans le plan de la cornée.

Il faudrait que tu indiques les coordonnées de la scène, de l'objet regardé
(le cercle) dans , quel plan prendre pour (le plan de l'objet) et pour (le plan de la cornée),
les coordonnées de l'oeil , pour que l'on puisse
remonter la projection en projection vectorielle utilisant des coordonnées homogènes.

J'ai vu qu'il existait des perspectives à deux ou trois points de fuite. :doh:

[xelif]

je ne suis malheuresement pas doué en math, je suis en M1 info en fait...

Merci pour toutes ces infos je vais essayer de faire ca le plus vite possible

merci bcp pour toutes ces infos je vais tenter de programmer ca maintenant

[busard_des_roseaux]

je ne suis malheuresement pas doué en math, je suis en M1 info en fait...

Merci pour toutes ces infos je vais essayer de faire ca le plus vite possible

merci bcp pour toutes ces infos je vais tenter de programmer ca maintenant

euh, je veux bien travailler avec toi, le sujet et la mise au point des formules m'intéresse.

[busard_des_roseaux]

bjr xelif,

Concernant la photo, peux-tu indiquer le système de coordonnées que tu choisis,
(sans doute Z=0,X,Y) , la scène se trouve dans le plan horizontal,
au pied du photographe ?, une équation de la droite à l'infini
(Y=m) et l'équation de l'ellipse,


(le problème posé est celui de supprimer la perspective d'une photo).


cordialement,

[xelif]

le systeme de coordonnés choisi est (x,y,z=0)

la scene se trouve effectivement au "pied" du photographe, si tu veux bien entendu dire que la scene se trouve en bas, il s'agit d'un projet consistant a redresser des images d'agroglyphes ( formes geométriques dans les champs de blé ) prise grace a une vue aerienne

qu'entends tu par equation de la droite a l'infini? le tu veux dire la ligne d'horizon?

l'equation de l'ellipse est de la forme : A1.x.y+A2.y^2+A3.x+A4.y+A5=1

elle est trouvé a partir d'un système d'équation linéaire,

Si l'utilisateur saisi 5 points sur l'image, -> resolution par la méthode de decomposition LUP ( algorithmiquement moins couteuse que la methode de cramer par exemple )

si il entre plus de 5 points, nous faisons une approximation par moindres carrés afin de trouver l'equation de l'ellipse

et ensuite on redresse l'image

Mais avant de traiter des ellipses, je prefererai deja programmer pour les carrés, mais rien ne t'empeches de continuer a avancer
si j'ai des questions je n'hésite pas
merci du coup de main

[xelif]

euh question idiote, en raisonnant un peu sur mon histoire de points.....

j'ai un quadrilatere A=(x1,y1),B=(x2,y2),C=(x3,y3),D=(x4,y4)
que je veux transformer en carré, pourquoi je en calculerai pas le bi-rapport AB/CD - AD/BC

ca devrait pouvoir au moins me donner des segments de meme longueur pour chaque coté de mon quadrilatere, par contre je me demandais est ce que je serai sur que mes angles seront droits?

si oui ben ce rapport me donne un x' et un y', j'ai plus qu'a faire le changement de variable pour chacun des poins de mon image non?

merci d'avance pour vos reponses