Histoire de sin et cos

[snotocs]

Slt a tous

dans un concours pour école d'ingé j'ai trouver ceci :


Calculer :

cos^6(x) - cos^4(x) + cos^2(x)sin^2(x) - sin^4(x) +sin^6(x) =


cependant je ne comprend pas comment faire et ce qu'il demande
avez vous des pistes a me donner svp

[abcd22]

Bonjour,
regarde ce que ça donne si on développe pour remplacer les puissances 6 de l´expression par 1 - qqch.

edit : et ensuite je pense qu´on peut simplifier des choses en factorisant pour faire apparaître des sin² + cos².

[snotocs]

merci je vais voir si je peut trouver un résultat

[snotocs]

j'arrive au bout d'un moment à

cos ^6(x) + sin ^6(x) = 1/(1- 3 cos^2(x)sin^2(x))

j'injecte sa dans l'énoncé sa me donne

cos^2(x)sin^2(x) - cos^4(x) - sin^4(x) / (1- 3 cos^2(x) sin ^2 (x) )

je vais essayer en remplacant les cos^2 par des cos(2x)

voir ce que cela donne

[snotocs]

plus loin dans mes brouillons je me retrouve avec Cos^2(2x) / (1 - 3 cos^2(2x)

je suis perdu ! je sais meme pas si c'est juste et ce que je peut en faire ...

[snotocs]

Bon bah en faites j'ai tout repris j'ai directement utiliser la formule de moivre et de euler j'ai tout développer puis à la fin sa donne 0.

je crois que mon résultat est juste.

[fahr451]

bonjour en laissant tomber les x

S = cos^6 -cos^4 + cos^2 sin^2 - sin^4 +sin^6

S = cos^4 ( cos^2 - 1 ) +cos^2 sin^2 + sin^4 ( -1 + sin^2 )


S = - cos^4 sin^2 +cos^2 sin^2 -sin^4 cos^2

S = cos^2sin^2 ( -cos^2 +1) - sin^4 cos^2


S = cos^2 sin^4 - sin^4 cos^2


S = 0

on n ' a utilisé que cos^2 + sin^2 = 1

[buzard]

On peut clarifier un peu l'expression en posant X=cos²x et Y=sin²x

E = (X^3+Y^3) - (X^2+Y^2) + XY

on a donc avec X+Y=1 :

Code: Tout sélectionner

X^3+Y^3 = (X+Y)^3 - 3 XY (X+Y) = 1 - 3 XY
X^2+Y^2 = (X+Y)^2 - 2 XY       = 1 - 2 XY


en substituant les termes dans l'expression initiale on trouve 0.

[snotocs]

ah ouais merci je vais regarder tout sa plus dans le details.
merci